二次関数の分数の積分について

質問

f(x)=a/(bx^2+cx+d)
のとき
∫f(x)dx=F(x)+C
となるF(x)の求め方を教えてください。

回答No.5

info22_

No.3です。

ANo.3の補足について

>logやアークタンジェントが出てくる理由が今一つわからないのですが…
{log(x)}'=1/xを習っているなら
積分は微分の逆操作ですから∫(1/x)dx=log(x)+C (x>0)
と1/xの不定積分からlog(x)が出てきます。
1/x（x≠0)のxは正、負の値をとるから ∫(1/x)dx=log|x|＋Cと絶対値が付きます。
x⇒x+aとおけば ∫{1/(x+a)}dx=log|x+a|+C(x≠-a)となります。

またtan(・)の逆関数のtan^-1(・)=arctan(・)は置換積分における変数をもとに戻すとき
tan(・)の逆関数からtan^-1(・)が出てきます。
すなわち,t=tan(u) という変数変換を行えば、元の変数tに戻すとき,
逆関数をとって u=tan^-1(t)を代入するとき逆関数のアークタンジェントが現れます。
逆関数については高校で習いませんでしたか？
不定積分では、変数変換がよく使われますは、積分後、元の変数に戻すときに、逆関数を求めて使うことが通常行われます。

高校によっては、（受験に必要がないからという理由で）微積の一部を省略され習ってこない場合もあるので、最近は大学１年前期に高校数学の補講などを行うケースも増えてきているようです（学部の数学や物理などの授業に支障がでるため）。

>この計算は大学の数学科のレベルでしょうか？
高校の微積の範囲のレベルかと思います。

>高校の数学や工学部の大学の数学で習った記憶がございません。
>忘れてるだけ、もしくはちゃんと勉強してなかっただけでしょうか？

２次式分の1の不定積分の場合分けを知らなかった事自体、ちゃんと高校で微積を勉強してこなかったか、高校の授業で省略され習ってこなかったのかもしれませんね。

お礼

…いや、そもそも、２次式分の１を微分する方法を理解してないかも？

補足

＞２次式分の1の不定積分の場合分けを知らなかった事自体、ちゃんと高校で微積を勉強してこなかったか、高校の授業で省略され習ってこなかったのかもしれませんね。

習ってないのか？ちゃんと勉強してこなかったのか？忘れたのか？
高校までは真面目に勉強してたつもりなんですが…
…定かではありません…

ところで話は変わって２次式分の１をマクローリン展開すると以下の計算で合ってますか？
1/(ax^2+bx+c)=1/c+(1/b)x+(1/a)x^2+x^3+x^4+x^5...
収束範囲(|x|<1)

ぼんやりとした記憶では情報系の大学ではマクローリン展開した式を積分するのが一般的なのかと思ってましたが、収束範囲が(|x|<1)では全く使い物になりませんね…？
（大学では遊び呆けてたからなあ…）