不定形の極限

質問

(x+1/x-2)^2x-1 x→+∞

上式の答えと計算過程を教えてください

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

すみません、間違えてましたね。直すの面倒なんで、log使ったやり方します。

y=(x+1/x-2)^2x-1とおく
logy=(2x-1){log(x+1)/(x-2)}
logy=(2x-1){log(1+3/(x-2)}

log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…より、

(2x-1){log(1+3/(x-2)}
=(2x-1){3/(x-2)-(3/(x-2))^2/2+(3/(x-2))^3/3-(3/(x-2))^4/4+…}
={3(2x-1)/(x-2)-(2x-1)(3/(x-2))^2/2+…}
=6+9/(x-2)-(2x-1)(3/(x-2))^2/2+…}
→6 (x→∞)
logy=6より、
y=e^6

お礼

素早い回答ありがとうございました。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

(x+1/x-2)^2x-1
2x-1=tとおくと
x=t/2-1/2

((t/2-1/2)/(t/2-5/2))^ t
=((t-1)/(t-5))^ t
=(1+4/(t-5))^ t

4/(t-5)=1/uとおく
u=t/4-5/4
t=4u+5

(1+1/u)^(4u+5)
→e^4 (u→+∞)

補足

二行目のようにすると
x=1/2t+1/2になりませんか？
最後の行の式も何故そうなるのかわかりません

それとlogを使った解法はないでしょうか？