不定形の極限値

質問

lim[n→∞]{√(x^2-3x+1)-x}
について、テイラー展開(またはマクローリン展開)を使って極限値を求めるのですが、
略解を見ても理解できません。
詳しい解答が分かる方、よろしくお願いします。

略解は画像の(2)の問題です。

回答No.1

noname#199771 · ベストアンサー

なぜテイラー展開？
わざわざ展開するのは無駄に難しくしているだけです。
こういうのはいわゆる分子の有理化で処理しましょう。
簡単ですぐに答えがでます。

どうしても展開する方法を使いたい場合、画像の2行目
の最初の式は、αが実数で|y|<1のときの(1+y)^αのテ
イラー展開を利用しています。

(1+y)^αのテイラー展開については教科書を見てください。

x→∞のとき、x>6としてよいので
|(3/x)-(1/(x^2))|<1になります。

ただ、書き方がまずくて、

x{1-(1/2)((3/x)-(1/(x^2)))-(1/8)((3/x)-(1/(x^2)))^2+O(1/(x^4))-1}

とでもするべきです。ただしOはランダウの記号。
「・・・」はごまかしで、その後の計算が本当なのか怪しいん
ですよ。

お礼

(1+y)^aのテイラー展開を使えばいいんですね。やっと理解できました。ありがとうございます。

回答No.2

alice_44

単に、級数展開の使い方の練習課題なんでしょう。
そのために適切な例であるかどうかは、別にして。→A No.1

場当たり的な高校公式で処理して終わるのではなく、
系統的な計算方法を身につけておくのは、悪いことではない
とは思うけど…

添付画像の計算は、√(x^2-3x+1) - x を 1/x の冪級数に
展開しようとして、その計算を簡単にするために、
√(1-y) のマクローリン展開を援用しているんです。
部分式のテイラー展開を利用して、テイラー展開を行う
という考え方は、冪級数のとり扱いを身軽にしてくれる
ことが多いものです。

テイラー展開を利用するためには、何か→0 の極限に話を変える
必要があるので、x→∞ を 1/x→0 に置き換えるために、
式中に 1/x = z の塊を作ることを考えます。
それには、√ から x を括り出せばよさそうです。
√(x^2-3x+1) - x = x { √(1 - 3/x + 1/x^2) - 1 }.

√(1 - 3z + z^2) を z でマクローリン展開するのも
面倒くさそうなので、更に y = -3z + z^2 という塊を見つけ、
√(1 + y) = 1 + (1/2)y + O(y^2)
を利用することを考えます。これは、y でのマクローリン展開で、
O(y^2) は、lim[y→0]f(y)/y^2 が有界になるような f(y)
というほどの意味です。←[*]
有界なだけで、収束するかどうかも知らないけれど。

y = -3z + z^2 を代入して、√(1 + y) =
= 1 + (1/2)(-3z + z^2) + O((-3z + z^2)^2)
= 1 -(3/2)z + (1/2)z^2 + O(z^2)
= 1 -(3/2)z + O(z^2).
三行目の O(z^2) と四行目の O(z^2) は、異なる関数ですが、
[*] の意味で O(z^2) であることに違いはないので、十把一絡げに
O(z^2) と総称しておきます。

これを原式へ戻して、
√(x^2-3x+1) - x =
= x { √(1 + y) - 1 }
= x { -(3/2)z + O(z^2) }
= -(3/2) + z O(z^2)/z^2
x→∞ すなわち z→0 のとき、O(z^2)/z^2 が有界なので、
z O(z^2)/z^2 → 0 です。

よって、√(x^2-3x+1) - x → -3/2.

お礼

詳しい説明までありがとうございます。理解できました。