不定形の極限値

質問

不定形の極限値の範囲で下の２つの定理の証明がわからなくて困っています。
どなたか解説をお願いします。

定理１
f(x),g(x)はある開区間(a,∞)で微分可能な関数とする。
もし、lim(x→∞)f(x)=lim(x→∞)g(x)=0が成立し、
極限
lim(x→∞) f'(x)/g'(x) = L
が存在すれば
lim(x→∞) f(x)/g(x) = L
が成り立つ。

定理２
f(x),g(x)はaを含むある開区間で微分可能な関数とする。
もし、lim(x→a)f(x)=lim(x→a)g(x)=∞が成立し、
極限
lim(x→a) f'(x)/g'(x) = L
が存在すれば
lim(x→a) f(x)/g(x) = L
が成り立つ。

回答No.3

tecchan22

ロピタルの定理の周辺ですね。

ｇ’が連続であることを仮定すれば、わりと素朴に出来ます。
（そう仮定しても応用上はほとんど問題ないでしょう？）

定理１
f’/g’が極限を持つことから、あるｂに対し、ｘ≧ｂなら、g’(x)≠０でなければなりませんが、g’が連続から、ｘ≧ｂでｇ’は常に正または常に負となります。
ｘ≧ｂでｇ’が常に正（負）のとき、ｘ≧ｂでｇは常に負（正）になります。（∵ｇ→０）
ここではｘ≧ｂでｇ’が負として解きます。正のときも同様です。

仮定から、
任意のε＞０に対して、あるａが存在して、
ｘ≧ａならば、|{f’(x)/g’(x)}-L|＜ε
ですね。
ここでａはｂよりも大きくとっておきます。

変形して、
（Ｌ－ε）g’(x)＜f’(x)＜（Ｌ＋ε）g’(x)
（∵ｘ≧ａ（≧ｂ）の範囲で、ｇ’は常に正）

これがｘ≧ａで成り立つので、任意のｘ≧ａに対し、ｘ＜ｙとしてｘ→ｙで積分して、
（Ｌ－ε）{g(ｙ)-g(ｘ)}＜f(ｙ)-f(ｘ)＜（Ｌ＋ε）{g(ｙ)-g(ｘ)}

ｙ→∞として、両辺に-1をかけると、
（Ｌ－ε）g(ｘ)≧f(ｘ)≧（Ｌ＋ε）g(ｘ)

ｘ≧ａ（≧ｂ）よりg(ｘ)＜０だから、両辺をg(ｘ)で割って、
Ｌ－ε≦f(ｘ)/g(ｘ)≦Ｌ＋ε　　・・・(1)

つまり、任意のε＞０に対してあるａがあって、ｘ≧ａのとき(1)が成り立つから、結論が得られる。（証明終）

定理２も同じような感じで出来ますよ。

回答No.2

quaRk-6

方針だけ説明しますと
(i)Rolleの定理：f(x)が[a,b]で連続、(a,b)で微分可能で、f(a)=f(b)ならばf'(c)=0,a<c<bを満たす実数cが存在する。
　　を証明する。
(ii)Cauchyの平均値の定理：関数f(x),g(x)が[a,b]で微分可能ならば
f(b)-f(a)　　f'(c)
――――＝――　　　(a<c<b)を満たすcが少なくとも１つ存在する。
g(b)-g(a)　　g'(c)

但し、g(b)≠g(a),g'(x)≠0(a<c<b)である。

を証明する。

(iii)定理１、定理２を証明する

回答No.1

oyaoya65

以下のURLに簡単な証明が載っています。
http://www.cec.yamanashi.ac.jp/~sato/lecture/lhospital/lhospital.html