極限値の性質

質問

極限値の性質で
lim[x→a]f(x) = A, lim[x→a]g(x) = Bのとき、
lim[x→a]{f(x) + g(x)} = A + B という公式がありますが、
この式は
lim[x→a]{f(x) + g(x)} = lim[x→a]f(x) + lim[x→a]g(x) であるから、
lim[x→a]{f(x) + g(x)} = A + B であるということであっていますでしょうか？

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

この公式の一番キモは、
lim[x→a]f(x) とlim[x→a]g(x)が、ともに「存在する（収束する）ならば」、lim[x→a]{f(x) + g(x)} も「存在して」、lim[x→a]{f(x) + g(x)} = lim[x→a]f(x) + lim[x→a]g(x) となる
ってことです。（カギ括弧のところが重要）
証明は、大学生でしたら、ε-δでしょうけど、高校生だとすると、そういうもの、と直感的に理解しておけばＯＫだと思います。
というか、高校段階だと、そもそも「収束する」というのが何を意味しているのかしっかりと定義されていないので、証明することは不可能だったりします。

お礼

>lim[x→a]f(x) とlim[x→a]g(x)が、ともに「存在する（収束する）ならば」、
lim[x→a]{f(x) + g(x)} も「存在して」、lim[x→a]{f(x) + g(x)} = lim[x→a]f(x) + lim[x→a]g(x) となる

こういうことだったんですね。
この公式を見て、なにか不自然に感じたので質問をさせて頂きました。
御回答、ありがとうございました。