数列 極限 基本定理

質問

数列　極限　基本定理

lim「x→a」ｆ（x）=α，lim「x→a」g（x）=βのとき、
（1）lim[x→a]（ｆ（x）±g（x））=α±β
（2）lim[x→a]（ｆ（x）・（x））=αβ
（3）lim[x→a]（kｆ（x））=kα
（4）lim[x→a]（ｆ（x）/g（x））=α/β
とあります。
注意として、x→aをx→∞，-∞，a+0，a-0，とあるのですが、
a+0は+0のことで、a-0は-0のことでしょうか？
a+0とa-0の意味を教えて頂けませんでしょうか？
また、x→aをx→-aとはおけないのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

ei10 · ベストアンサー

こんにちは。

＞a+0とa-0の意味を教えて頂けませんでしょうか？
これは、右側極限、左側極限のことで、
右側（aという値から見て+の方）から、極限をとる場合と、
左側（aという値から見て-の方）から、極限をとる場合を指しています。

+、-の意味は、数直線を思い出してください。数直線では、
必ず、右側が正、左側が負になります。そのため、
右側左側は、正の方から、負の方からという意味になります。

たとえば、a=5だとします。
x→a+0は、10、9、8、7、6、・・・5.5、5.4、5.3、5.1・・・・5.001・・・
という感じで5に近づくことで、
x→a-0は、逆に-2、-1、0、1、2、3、4・・・4.5、4.6、4.7、4.8、4.9、・・・・4.9999
という感じで5に近づくことを意味します。

x→∞，-∞は見たまんま、正の無限大へと、負の無限大へという意味です。

＞x→aをx→-aとはおけないのでしょうか？

lim「x→a」ｆ（x）=α，lim「x→a」g（x）=βのとき、
（1）lim[x→a]（ｆ（x）±g（x））=α±β
（2）lim[x→a]（ｆ（x）・g（x））=αβ
（3）lim[x→a]（kｆ（x））=kα
（4）lim[x→a]（ｆ（x）/g（x））=α/β

元の文はこれですが、これは、論理構造的に

lim「x→a」ｆ（x）=α，lim「x→a」g（x）=β

ならば、

（1）lim[x→a]（ｆ（x）±g（x））=α±β
（2）lim[x→a]（ｆ（x）・g（x））=αβ
（3）lim[x→a]（kｆ（x））=kα
（4）lim[x→a]（ｆ（x）/g（x））=α/β

ということを意味しています。
つまり、もしx→aをx→-aと置くならば、仮定の部分が違いますので、
もちろん結論も変わります。

ええと、質問はもしかして
x→a+0をx→-aとはおけないのでしょうか？
というこでしょうか？

それならば、そう置いてはいけません。
a+0は向きを表していて、
-aになると、それ自体が数字になってしまいます。
意味が変わってきます。
あ、ちなみにa=0のときは、少し特殊で、
0-0や、0+0とは書きません。
単に、-0や+0と書きます。

なぜ、右側とか左側とか考えなければいけないんだろ？
と思っていると思います。
それは、きっとこれから扱うグラフが、今までとは違い、
途中で切れていたり（定義域が存在しない）、とがっていたり（微分不可能）
だったりするからです。そのため、右側、左側を調べなければ、ならないのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
質問の仕方が悪かった様なので、再度質問させて頂きます。再度ご回答頂けるとありがたいです。

補足

ご回答ありがとうございます。
＞a+0とa-0の意味を教えて頂けませんでしょうか？
左極限と右極限でしたか、微分可能であるか(関数が連続であるか)を調べる時にやってました。
思い出しました。すいません。

今回の質問はx→aをx→∞,x→-∞,とおけるのに、
x→+0,x→-0,x→-aとおけないかという内容です。
x→∞,x→-∞,とおける理由とx→+0,x→-0,x→-aとおけない理由を教えて頂けないでしょうか？

回答No.2

ei10

すみません、書き間違いです！

ええと、質問はもしかして
x→a+0をx→-aとはおけないのでしょうか？
というこでしょうか？

それならば、そう置いてはいけません。
a+0は向きを表していて、
-aになると、それ自体が数字になってしまいます。
意味が変わってきます。

のところ、

ええと、質問はもしかして
x→a-0をx→-aとはおけないのでしょうか？
というこでしょうか？

それならば、そう置いてはいけません。
a-0は向きを表していて、
-aになると、それ自体が数字になってしまいます。
意味が変わってきます。