極限の問題

質問

(a-1)^2　　　 1
r=―――――　+―(e^a-ea)
　　2(e^a-ea)　　　2

rのa→1+0を求めなさい。
ただし、

(x-1)^2　　　　　　　　(x-1)^2　　(x-1)^3
―――<e^(x-1)-x<――――+――――
　　2　　　　　　　　　　　2　　　　　　3
を用いて良い。

この問題の答えは1/eなのですが、何度解いても0になってしまいます。
解く過程を教えていただきたいです。

よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

(x-1)^2/2＜e^(x-1)-x＜(x-1)^2/2+(x-1)^3/3
x=aとして、
(a-1)^2/2＜e^(a-1)-a＜(a-1)^2/2+(a-1)^3/3
e(a-1)^2/2＜e^a-ea＜e(a-1)^2/2+e(a-1)^3/3

この式から、
1/(e^a-ea)＜2/e(a-1)^2
e^a-ea＜e(a-1)^2/2+e(a-1)^3/3
と
1/(e^a-ea)＞1/{e(a-1)^2/2+e(a-1)^3/3}
e^a-ea＞e(a-1)^2/2
の２通りの不等式が導かれる。

これらをr=の式に代入して挟み打ちにする。

r＝(a-1)^2/{2(e^a-ea)}+(e^a-ea)/2
＜1/e+e(a-1)^2/4+e(a-1)^3/6　→　1/e

r＝(a-1)^2/{2(e^a-ea)}+(e^a-ea)/2
＞(a-1)^2/{e(a-1)^2+2e(a-1)^3/3}+e(a-1)^2/4
=1/{e+2e(a-1)/3}+e(a-1)^2/4　→　1/e

お礼

ありがとうございました！
助かりました!!!

回答No.2

noname#171582

グラフ