関数の極限の問題だと思うのですが・・・

質問

写真の(2)が分かりません。
私は関数の極限でlim(x→0)sinx/x＝１を使うと思って
試行錯誤したのですが解けなかったです。
インターネットや問題集からも調べたのですが、
それらしい問題も見つけることが出来ずに困っております。
ご回答の際は答えと計算過程を書いていただきたいです。

回答No.4

tnuma0330 · ベストアンサー

ロピタルの定理を使っていいんだったら、
まず
sinx/x^3 - cos2x/x^2 と分ける。

左の項の分子・分母をそれぞれ3回微分して、
lim[x→0] -cosx/6 = -1/6

右の項の分子・分母をそれぞれ2回微分して、
lim[x→0] 4cos2x/2 = 2

∴ -1/6 + 2 = 11/2

ロピタルの定理を使っちゃいけないんだったら、
cos2x = 1-2(sinx)^2
sin3x = 3sinx - 4(sinx)^3
を駆使すれば、
sinx/xの極限だけを適用して同じ答えにたどり着きます。

お礼

ロピタルの定理ですか！
思い出しました。
ご回答ありがとうございます。

回答No.3

freebird3569

数式が書くのが難しいので詳しくは画像で。
ポイントは、最初の倍角の定理を使う事、
分子をそれぞれ分けて考えることです。

お礼

倍角の定理も調べてみましたら
忘れていたものもありました。
ご回答ありがとうございます。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

x ⇒ 0 で sin x の3次近似以降の成分を無視すると

(sin x - x・cos2x)/x^3 = (sin x - x(1-2(sin x)^2))/x^3
≒x^3/x^3=1

お礼

sinの近似ですか！そういう考え方があったのを思い出しました。
ご回答ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

ロピタル?

お礼

その考え方を使うと解けることを納得しました。
ご回答ありがとうございます。