- ベストアンサー
三角関数の極限の問題なんですが・・・
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>どうしてそんなひらめきがでるのでしょう?式になんらかのヒントがあるのでしょうか?それとも経験からこういう問題はだいたいこうだとかいうものがあるのでしょうか? 経験といえば経験なのかもしれませんが、 ・x→αの極限の時(αは定数)は、t=x-αなどとおいて、t→0の極限の問題にするとか。 (多くの極限の公式は、0に近付けているので) ・x→-∞やx→0-0の極限の問題の時は、t=-xとおくとか。 (負の数より正の数の方が分かりやすいので) ・三角関数等を含む極限だったら、三角関数の中身を文字でおくとか。 (三角関数等の中身は、単純な方が分かりやすいので) みたいな事をやると、大抵の場合、極限が求めやすくなると思います。 例えば、この問題で言うと、 X→1の問題なので、t=X-1とおけば、t→0となります。 すると、 lim[t→0]sin(π(t+1))/t=-lim[t→0]sin(πt)/t となります。 sinの中身、つまりπtをxとけば、 -lim[x→0]πsin(x)/x となります。そしたら、自然と(?) >Xを0に限りなく近づけた時に(sinx)/x の公式が使える形になっていますよね。 最初と最後だけをみれば、結局 x=(X-1)π と置いた事になってるはずです。 ふと思いましたが、最初から↑みたいな事を書くべきだったような^^;
その他の回答 (4)
- freedom560
- ベストアンサー率46% (80/173)
x=(X-1)π といきなり置くのはちょっと難しいので、まずはt=X-1とおけるようになればいいと思いますよ。 X→0でlim(sinx)/x=1であることを知っているのであれば、分母を見比べたり、X→1をt→0に変形したいと思ったらt=X-1と置くのは自ずと見えてくるようになると思います。 すると、sinπ(t+1)/t=-sinπt/t と計算できるので、ここでT=πtと置くならはじめから(T=πtにt=X-1を代入した形の)x=(X-1)πと置いておけばよかったのかなと思えればいいと思います。 -sinπt/t=-sinπt/{(πt)*(1/π)}=-π*sinπt/πt と計算できるので、x=(X-1)π といきなり置けなくても十分なわけです。 ちなみに、極限の値を求めるときにはロピタルの定理と言うすごく便利な定理があるので、知っていて損はないと思います。(高校生のときはこれを使って証明すると減点対象になりますが) 答えを先に知っておくと、計算間違いの可能性が少なくなったり、証明のヒントになったりするのでお勧めです。
お礼
ロピタルの定理という言葉にハマってしまい調べまくっていたら遅くなりました^^; いきりなりのひらめきではなく、そういった順を追った手順があったんですね。なるほど どうもありがとうございます!
- take008
- ベストアンサー率46% (58/126)
そこまでわかっているのなら後1歩です。x=(X-1)π と置けばいいです。
補足
できました!!!ありがとうございます!! どうしてそんなひらめきがでるのでしょう?式になんらかのヒントがあるのでしょうか?それとも経験からこういう問題はだいたいこうだとかいうものがあるのでしょうか?
- d-kanai
- ベストアンサー率13% (8/61)
XをY/パイ+1と置き換えてはどうでしょうか? X→1のとき、Y→0となりますよね?
- eatern27
- ベストアンサー率55% (635/1135)
t=X-1としてみましょう。
関連するQ&A
- 三角関数の極限
数IIIの極限の問題で答えがないので合ってるかどうかみてほしいです 次の極限値を求めよ (1)lim[x→π](x-π)/sinx x-π=tとおくと、x→πのときt→0より (与式)=lim[t→0]t/sin(t+π) =lim[t→0](t/sint) =1 (2)lim[x→∞]x^2(1-cos1/x) 1/x=tとおくと、x→∞のときt→0より (与式)=lim[t→0](1-cost)/t^2 分母分子に(1+cost)を掛けて =lim[t→0](1-cost)(1+cost)/{t^2(1+cost)} =lim[t→0](sint/t)^2・1/(1+cost) =1/2 よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数、指数関数の極限の問題(2)
極限の問題で (1)lim(x)sin(1/x) x→0 の問題でlimの後をsin(x)で割り、lim(sinx)/x=1 x→0 の公式をつかって解こうとおもったのですが、その先がわかりません…。 この考え方は間違っているでしょうか? あと、 (2)lim(1+2/x)^x x→∞ の問題はどう考えればよいのでしょうか? どなたか解き方のアドバイスか最終的な回答がわかる方がいらしたら教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 指数関数の極限と不定形の極限の問題
極限の問題で (1)lim{(logx+log(sin)(2/x)} x→∞ logの底は2 の問題で lim(log){x・sin(2/x)} とまとめてみたのですが、そのあとの計算の解き方のアドバイスか最終的な答えを教えてください。 あと (2)lim(x-sinx)/x^3 x→0 の問題はははじめから手のつけ方がわかりません… どう考えればよいのでしょうか? 回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 三角関数の極限値の求め方
極限値の求め方で苦戦しているのですが、どうしても答えと会いません。 どのように求めるか分かる方宜しくお願いします。 (1) lim x→0 sin2X/sin5X 答え 2/5 (2) lim x→0 (1-cosX)/(X sin X) 答え 1/2
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の問題
極限の問題について質問です。よろしくお願いいたします。 Lim(n→0)xsin1/xの極限値を求める問題です。 私は、公式lim(n→0)sinx/x=1を使用したかったので、次のように計算しました。 lim(n→0)xsin1/x = lim(n→0) (1/x)/ (1/x)×x×sin1/x =lim(n→0) (1/x)×x =1 でも、答えは絶対値を使い、 |sin1/x|≦1より、0≦|xsin1/x|≦|x|・1=|x| x→0のとき、|x|→0だから、lim(x→0)xsin1/x=0 となっていました。 答えの方法も順を追ってみていけば、理解できましたが、自分の方法が間違っているとも思いませんが、やはりどこかがおかしいのだと思います。 そこで質問なのですが、私の方法どこが間違っているのでしょうか???よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分/極限値/導関数の問題
社会人ですが、高校の時、苦手で全く出来なかった微分の勉強を独学でしてますが、解き方が分からない問題と解けたのですが答えが分からない物があります。教えて頂けると助かります。(どう書くのが正しいのかわからなかったので、分数:二分の一は1/2のように書きます) 当方、本当に微分初心者です。宜しく御願いします。 1.次の極限値を求めよ lim(x^3-3x+2)/(x-1)^2 x→1 2.以下の導関数を求めよ 1) y=(2x+3)/(x^2+1) 2) y=xsinx 3) y=1/1+cosx 4) y=sin^100x (sinの100乗かけるX) 5) y=sinx^100 (sinx100乗)
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
丁寧な回答をありがとうございます。 よ~~くわかりました。もうこれ系の問題はバッチしです!!!