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三角関数の極限
(1)lim[x→π/2]2x-π/cosx (2)lim[θ→0]1-cos3θ/θ^2 これらの計算過程も含めて教えてくださいm(_ _)m
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>(1)lim[x→π/2]2x-π/cosx t=x-π/2とおくと、x→π/2のときt→0,2x-π=2t,cosx=cos(t+π/2)=-sint =lim[t→0]2t/(-sint) =lim[t→0](-2)(t/sint) =-2 >(2)lim[θ→0]1-cos3θ/θ^2 2倍角の公式より、1-cos{2・(3θ/2)}=2sin^2(3θ/2) =lim[θ→0]2sin^2(3θ/2)/θ^2 =lim[θ→0]2・(3/2)^2・{sin(3θ/2)/(3θ/2)}^2 =2×(9/4) =9/2 でどうでしょうか?
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- kabaokaba
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ロピタルを使うのはお勧めしない. 高校数学だったらロピタルはご法度かもしれないし かといって大学だったら素直に展開すればいいだけの話 (1) y=2x-πとおけば (2x-π)/cosθ = -y/sin(y/2) x->π/2 のとき y->0 ってことですぐできる 答え -2 (2) cos(3θ)=1-2sin^2(3θ/2)(半角の公式) を使えば (1-cos(3θ))/θ^2 = 2sin^2(3θ/2)/θ^2 sin(t)/t -> 1 (t->0)にあわせれば 答えは 9/2
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回答ありがとうございます。
- NemurinekoNya
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(1) t = x-π/2とおくと lim[x→π/2](2x-π)/cosx = lim[t->0]2t/cos(t+π/2) = lim[t->0]2t/(-sint) = -2lim[t->0]t/sint =1/(lim[t->0]sint/t) = -2 (2)1-cos3θ = 2sin^2(3/2θ)なので im[θ→0](1-cos3θ)/θ^2 = lim[θ→0]2sin^2(3/2θ)/θ^2 (a) x = 3/2θとおくと (a) = lim[θ→0](3/2)^2*2sinx^2/x^2 = 9/2*lim[θ→0]sinx^2/x^2 =9/2*{lim[θ→0]sinx/x}^2 = 9/2
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回答ありがとうございます。
- spring135
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(1)p=π/2-x lim[x→π/2]2x-π/cosx=lim[p→0]2p/sinp=lim[p→0]2/cosp=2 ロピタルの定理 [lim[x→0]f(x)/g(x)=lim[x→0]f'(x)/g'(x)] による。 (2)lim[θ→0]1-cos3θ/θ^2=lim[θ→0]3sin3θ/2θ=lim[θ→0]9cos3θ/2=9/2
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回答ありがとうございます。
- info22_
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(1)lim[x→π/2](2x-π)/cos(x) =lim[x→π/2] 2/(-sin(x)) ← ロピタルの定理適用 =-2 (2)lim[θ→0](1-cos(3θ))/θ^2 =lim[θ→0] 3sin(3θ))/(2θ) ← ロピタルの定理適用 =lim[θ→0] (9/2)sin(3θ))/(3θ) =9/2
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回答ありがとうございます。
- alice_44
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(1) x-(π/2)=y で変数変換して、 sin の基本公式に持ち込む。 (2) cos をマクローリン展開する。
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回答ありがとうございます。
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分かりやすい回答ありがとうございます。