三角関数の極限

質問

lim (x→0) (cos3x-cos2x)/x^2

これが分かりません。

回答No.7

Tacosan

「変形に気づくかどうか」という視点で考えるなら, 和積だろうと cosx-1=-2(sinx/2)＾2 だろうと同じようなもの＞#5.

ついでに「実際にやってみて、言ってるんだろうな」については
少なくとも俺にはこの問題が「わざわざ手を動かさなければならないほど」のこととは思えない
と答えておこう. cos-cos だから和積を使えば 2個の sin の積になるし, そうすればちょうど分母の x^2 と相殺できることは問題を見ればわかる. 本質はそれだけだ.

回答No.6

ereserve67

大学1年生の知識があれば・・・

cost=1-t^2/2+o(t^3)（oはランダウの記号）

だから，

cos3x-cos2x=1-9x^2/2+o(x^3)‐(1-2x^2+o(x^3))=-5x^2/2+o(x^3)

∴(cos3x-cos2x)/x^2=-5/2+o(x)→-5/2(x→0)

回答No.5

mister_moonlight

見かけは、こっちの解法の方が　確かに簡単そうに見える。
しかし、こっちの解法は　sinx／x　→　1を2回使う事になる。

cos3x-cos2x＝-2sin5x/2*sinx／2から　sinx／x→　1を使うために、分母のx^2を考えて
(sin5x/2)/(5x/2)、(sinx/2)/(x/2)と変形して　それから全体を同値にしてやる。
この方法が　最短ではある。

しかし、この変形に気がつくかどうか　？

回答No.4

mister_moonlight

＞高校数学なら和積を使うのが常道かと

実際にやってみて、言ってるんだろうな。やってから　言えよ。
私は　どっちもやった。大して　変わらない。

回答No.3

Tacosan

高校数学なら和積を使うのが常道かと＞#2.

回答No.2

mister_moonlight

こんなものは　高校数学。
三角関数の公式さえ知ってれば、ロピタルなんか持ち出す必要もない。
三角の公式が忘却の彼方なら　仕方がないが。。。。。ｗ

Ｐ＝cos3x-cos2x＝3倍角と2倍角の公式から＝(cosx-1)*(4cos＾2x+2cosx-1)となる。
cosx＝2(cosx/2)＾2-1　だから　cosx-1＝2(cosx/2)＾2-2＝-2(sinx/2)＾2
つまり、Ｐ＝(-2)×(sinx/2)＾2×(4cos＾2x+2cosx-1)となるが　sinx/x　→　1を使いたい。
そのためには、分母のx^2　を　sinx/2　を考えて(x/2)＾2としてやると良い。
結果、分子＝(-2)×(sinx/2)＾2×(4cos＾2x+2cosx-1)×(1/4)
分母＝(x/2)＾2　となる。ここで　x→0　としてやると、sinx/x　→　1　だから　(-2)×(1)×(5)/(4)＝-5/2.

回答No.1

info22_

ロピタルの定理を適用してもよいなら

lim (x→0) (cos(3x)-cos(2x))/x^2 ←0/0型なのでロピタルの定理適用
=lim (x→0) (-3sin(3x)+2sin(2x))/(2x)　←0/0型なのでロピタルの定理適用
=lim (x→0) (-9cos(3x)+4cos(2x))/2
=(-9+4)/2
=-5/2

参考URL
ロピタルの定理

参考URL：

http://ufcpp.net/study/misc/lopital.html