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数I・Αの図形の問題です。

AB=5、BC=8、AC=7の三角形ABCがある。 BCの中点をMとし AMが直径の円と CAとの交点をDとする。 このとき ADの長さを求めよ。 と言う問題です。 直径のAMの長さは √21になり、MCは 4ですよね。 求めたいADをχとおき DCを 7-χとおき 方べきの定理でやってみました。 4^2 =7(7-χ) で解いたら 答えが 33/7 になりました。 でも 解答例には 27/7となっており 相似を使って解いていました。 方べきの定理では できないのでしょうか?

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回答No.3

直径のAMの長さは √21になりますか? 回答は27/7となっていましたか?   円の直径で弦とする円周角は直角になる。 直角三角形ならば、ピタゴラスの定理が使える。 直角三角形で他の一角が等しい三角形は相似なので、対応する辺は、、、

chiho0107
質問者

お礼

画像つきで とても納得できました! 直径の√21までは 求められたんですが AMを 縦にまっすくだと思い込んでました…。

その他の回答 (4)

noname#166245
noname#166245
回答No.5

三平方の定理→(相似の代わりに)方べき が速いんでしょうね。 円とBMとの交点をEとすると、AMが円の直径なのでAEM=90° BH=xとして、三平方の定理より 5^2 - x^2 = AE^2 = 7^2 - (8-x)^2 これを解いて x = 5/2 従って、CE= 8 - x = 11/2 方べきの定理より、CD・CA=CM・CE なので、AD=yとして (7-y) x 7 = 4 x 11/2 これを解いて y = 27/7

chiho0107
質問者

お礼

ありがとうございます! 方べきでも 解けるんですね! みなさんの意見をみて いろいろな角度からみないといけないことを 教えていただきました!!

  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)
回答No.4

AB=5、BC=8、AC=7の三角形ABCがある。 BCの中点をMとし AMが直径の円と CAとの交点をDとする。 このとき ADの長さを求めよ。 と言う問題です。 >でも 解答例には 27/7となっており >相似を使って解いていました。 相似を使って、AD=27/7が求められます。 >方べきの定理では できないのでしょうか? AからBCに垂線をおろし交点をEとする。 方べきの定理に当てはめると、 CA・CD=CE・CMとなりますが、 CEの長さとCDの長さが分からないので、 これから求めることはできません。 垂線AEの長さは、△ABCの高さなので、△ABCの面積を出せば求められます。 3辺が分かっているので、ヘロンの公式より面積=10√3 底辺BC=8とすると、 (1/2)×8×AE=10√3 だから、AE=5√3/2 AMが直径と言うことから直角三角形がいろいろできますが、その中で、 △AECと△MDCは相似です。 角C共通で、角AEC=角MDC=90度だからです。 よって、AC:MC=AE:MDより、 7:4=5√3/2:MDから、MD=10√3/7 △MDCで三平方の定理より、 DC^2=4^2-(10√3/7)^2    =484/49=(22/7)^2 より、DC=22/7 AD=7-(22/7)=27/7 となりました。 >直径のAMの長さは √21になり、MCは 4ですよね。 AMの長さは √21になります。 △ADMから三平方の定理より AM^2=(27/7)^2+(10√3/7)^2    =21 計算が少し面倒ですが確かめてみて下さい。

chiho0107
質問者

お礼

ありがとうございます! 面積からも求めることができるんですね! いろいろな見方をしないといけませんね!

  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.2

AMが直径の円はBCに接していますか?

chiho0107
質問者

お礼

接しているとは問題文に書いてません…。 接していると思い込んで 考えていました。 回答 ありがとうございました!

回答No.1

CMが円の接線になっていないので,その方程式からはADは求められないかと思います。

chiho0107
質問者

お礼

ありがとうございます! 思い込みは いけませんね…。 △AMCの三辺を三平方で確認してませんでした…。 ありがとうございました。

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