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図形の問題がわかりません。
閲覧ありがとうございます。 図形の問題がわかりません。教えてください。 問題を書きます。 図のように 円Oに内接する四角形 ABCDがあります。2辺 AD, BE を延長し その交点を Cとし、∠ABE =90゜, 2AB =BC, AB =1, EはBCの中点とします。このとき、 ∠ADEの大きさ と,円Oの直径と, DEの長さを求めよ。 また、△ABCの面積は△CDEの面積の何倍か。 というのが問題です。 詳しく教えて戴ければ嬉しいです。 よろしくお願い致します
- mytsy-oooly
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⊿ABEにおいて∠ABEが円周角=90°であることからAEは直径となり円の中心Oを通る。 AB=BE=1であることから,⊿ABEは直角2等辺三角形となりAE=√2 ⊿ADEはAEが直径であるので円周角として∠ADEは直角である。 以上から ∠ADEの大きさ=90°、円Oの直径=AE=√2 以下にDEの長さ=xをもとめる。 ⊿ABCにおいて、BC=2、AC=√(AB^2+BC^2)=√(2^2+1^2)=√5 ⊿ABCと⊿EDCは2角が等しい(∠Cが共通、∠ABC=∠EDC=90°)ので相似、よって AB/AC=DE/EC ⇒ 1/√5=x/1 ⇒ x=1/√5 CD=√(1-x^2)=√(1-1/5)=2/√5 ⊿ABCの面積=AB・BC/2=1 ⊿CDEの面積=CD・DE/2=(2/√5)・(1/√5)/2=1/5 △ABCの面積は△CDEの面積の5倍
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ANo.4の補足です。 △ABE考えると、正弦定理から、 EA/sin90°=EA=円Oの直径 よって、円Oの直径は、三平方の定理から√(1^2+1^2)=√2 円に内接する四角形の対角の和は180°であるから、 ∠BAC=∠DEC これから、△ABCと△CDEは、2角がそれぞれ等しく相似(2つの三角形共に直角三角形になる) よって、∠CDE=90°であり、∠ADE=180°-90°=90° △ABCと△CDEの相似比は、△ABCの斜辺CAの長さと△CDEの斜辺の長さの比を考えればいい △ABCの斜辺CAの長さは、三平方の定理から√(2^2+1^2)=√5 △CDEの斜辺CEの長さは1 これから、△ABCと△CDEの相似比は、√5:1 よって、DE=AB*1/√5=1*1/√5=√5/5 また、△ABCと△CDEの面積比は、(√5)^2=5:1^=1 よって、△ABCの面積は△CDEの面積の5倍 なお、△ABCと△CDEは相似なので、△CDEと表わさず、対応する頂点の順に△EDCと表わしましょう。
お礼
ありがとうございます
△ABCと△CDEの相似比は、斜辺の長さの比で考えると簡単です。 (△ABCと△CDEが相似であることの証明は省略) △ABCの斜辺の長さは、三平方の定理から、√(2^2+1^2)=√5 よって、△ABCと△CDEのの相似比は、√5:1 これから、△ABCと△CDEの面積比は、(√5)^2=5:1^=1 以上から、、△ABCの面積は△CDEの面積の5倍
お礼
回答ありがとうございます
4倍です。△ABCと△CDEは2角が等しいので相似で、相似比は2:1だからです。 相似比が2:1なら面積比は4:1になります。なぜ相似かというと、円に内接知る四角形の対角の和は180°で、∠ABEが90°だから∠EDCも90°になり、∠Cは共通だからです。2組の角が等しい。円に内接する四角形の対角の和が180°であることは、円周角の定理から説明できますが、円の問題の基本定理として覚えておきましょう。
お礼
ありがとうございます
4倍です。△ABCと△CDEは相似で、辺の比が2:1なので面積の比は4:1になります。 なぜ相似かというと、∠Cが共通で、∠ABE=∠EDC =90°だからです。∠EDCは内接四角形の対角の和は180°という性質と∠ABE=90°ということからわかります。
お礼
回答ありがとうございます
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