算数の図形問題です。

質問

図のように三角形ABCと三角形ABDが重なっています。ACとBDの交点をP、
AB,AD,BCの中点をそれぞれK,L,Mとし、さらにLMの中点をNとします。
三角形ABCの面積が24cm^2、三角形ABDの面積が8cm^2のとき、
三角形PNKの面積は何cm^2でしょうか。

∠DAB＝∠ABC＝90°として特殊化して、答えは2cm^2とでたのですが、
このままの形で解くとなると、うまくいきません。
ご教授の程、よろしくお願い致します。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

中点連結定理から
△ABCの
辺ABの中点Kと
辺BCの中点Mを結ぶ
KM//AC(KMとACは平行)
2|KM|=|AC|………(1)
となる
△ABDの
辺ABの中点Kと
辺ADの中点Lを結ぶ
KL//BD
2|KL|=|BD|………(2)
となる
点BからACへの垂直点をE
BEとKMの交点をFとすると
KM//ACだから
FはBからKMへの垂直点になり
2|EF|=|BE|………(3)
となる
△KMPの底辺をKMとするとき
その高さは|EF|に等しくなるから
|△KMP|=|KM||EF|/2………(4)
|△ABC|=|AC||BE|/2………(5)
↓(1),(3),(4),(5)から
4|△KMP|=|△ABC|………(6)
点AからBDへの垂直点をG
AGとKLの交点をHとすると
KL//BDだから
HはAからKLへの垂直点になり
2|GH|=|AG|………(7)
となる
△KPLの底辺をKLとするとき
その高さは|GH|に等しくなるから
|△KPL|=|KL||GH|/2………(8)
|△ABD|=|BD||AG|/2………(9)
↓(2),(7),(8),(9)から
4|△KPL|=|△ABD|………(10)
↓(6)+(10)から
4|△KMP|+4|△KPL|=|△ABC|+|△ABD|
↓|△KMP|+|△KPL|=|□KMPL|だから
4|□KMPL|=|△ABC|+|△ABD|
↓|□KMPL|=|□KNPL|+|□KMPN|だから
4|□KNPL|+4|□KMPN|=|△ABC|+|△ABD|
↓NはLMの中点だから
↓|□KNPL|=|□KMPN|だから
8|□KNPL|=|△ABC|+|△ABD|
↓|□KNPL|=|△PNK|+|△KPL|だから
8|△PNK|+8|△KPL|=|△ABC|+|△ABD|
↓(10)から
8|△PNK|+2|△ABD|=|△ABC|+|△ABD|
↓両辺から2|△ABD|を引くと
8|△PNK|=|△ABC|-|△ABD|
↓両辺を8で割ると
|△PNK|=(|△ABC|-|△ABD|)/8=(24-8)/8=2

お礼

なるほど、です。私は等積変形を利用して解こうとしてうまくいかなかった
のですが、面積の関係で解けるのですね。
小学生向けには、中点連結定理は相似で説明して、
△KMP，△KPL，□KMPLの面積を具体的に1つ1つだしていき、
辺の比と面積の比の関係から□KNPLが□KMPLの1/2であることを使って、
△PNKの面積を導くことができますね。
もやもやしていたのが晴れました。
丁寧に詳しく書いていただき、本当にありがとうございました。