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図形の問題
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正弦定理でいいと思いますが、 加法定理で、（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）がでます。 と言うより、（Ａ）（Ｂ）を覚えていれば、（Ｃ）（Ｄ）は除算で・・・。 cos75度=sin15度=(√6-√2)/4 （Ａ） sin75度=cos15度=(√6+√2)/4 （Ｂ） tan75度=(2+√3) （Ｃ） tan15度=(2-√3) （Ｄ） ------------------------ 出題者は、cosB=2sinB-√3・sinC に何か図形的な意味を、 持たせていると思います。 それが判れば最善ですが、判らないので愚直に計算します。 √3・sinC=2sinB-cosB √3・sin[180度-(30度+B)]=2sinB-cosB √3・sin(B+30度)=2sinB-cosB √3・[(√3/2)sinB+(1/2)cosB]=2sinB-cosB √3・[√3・sinB+cosB]=4sinB-2cosB 3sinB+√3・cosB=4sinB-2cosB (2+√3)cosB=sinB B≠90度 (2+√3)=tanB これでB=75度がでますから、C=75度 △ABCは、AB=AC=2 の二等辺三角形です。 次に、 (点Bを通る△ABCの外接円の直径)と(外接円の交点)をＥとして、 Ｃ ,,Ｅ Ｄ 外心Ｏ Ａ Ｂ 丁寧に図を描いて、円周角の定理などを用いて、 ∠Ｅ＝∠Ｃ＝７５度、∠ＥＡＤ＝∠ＣＢＤ＝６０度、 対頂角が４５度、∠ＥＡＢ＝９０度などが判ります。 △ＥＡＤとＣＢＤの相似がチラツキますが・・・。 ＡＤの値が判れば終了です。 まず、ＥＡを求めます。 ＥＡ=ＡＢ・tan15度=2・(2-√3) なので、 素直に正弦定理を△ＥＡＤに適用すればいいですが、 Ｅ ３０度,,４５度 ６０度 ４５度 Ａ Ｈ Ｄ 点Ｅから線分ＡＤに下ろした垂線の足をＨとする誘惑に勝てません。 順番に、 EA=2・(2-√3) AH=(2-√3) EH=√3(2-√3) HD=√3(2-√3) AD=AH+HD=(2-√3)+√3(2-√3)=2-√3+2√3-3=(√3-1) DC=AC-AD=2-(√3-1)=3-√3=√3(√3-1) AD:DC=(√3-1):√3(√3-1)=1:√3 ... 。
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- take_5
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あっ、ゴメン。とんでもない勘違いしている。前の回答は取り消し。 <m(__)m>
お礼
回答ありがとうございます。 間違っててもいいんですよ。 いかに単純に華麗に解くか！ 数学者なら挑戦して当然ですから＾＾
- take_5
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座標を使うと単純計算問題。。。。。笑 三角の問題だからといって、三角に拘る必要はない。 わざわざ半端な角度なんか持ち出す必要もない。 Ａ（-a、0）、Ｂ（b、0）、Ｃ（0、c）、a＞0、b＞0、c＞0とすれば、a＾2＋c＾2＝4、c/a＝tan30°＝1/√3より、連立するとa＝1、c＝√3。 余弦定理より、b＾2＋c＾2＝4＋（b+1）＾2-4（b+1）cos30°。 c＝√3からこれを解くと、b＝1.つまり、ＡＢ＝2. 次に外接円を、x＾2＋y＾2＋αx＋βy＋γ＝0とすると、この円が3点Ａ（-1、0）、Ｂ（1、0）、Ｃ（0、√3）を通るから、外接円はx＾2＋（y＋1/√3＾2＝7/3. これのy軸との交点（0、-1/√3）とＢ（1、0）を通る直線は√3*y＝1-xであるから、直線ＡＣの方程式を求め、その交点がＤである。 ‥‥以下省略。
まず、C = 180 - (B + 30)なので sin C = sin ( 180 - (B + 30) ) = sin (B + 30) ⇒加法定理で整理 …(1) また、cos B = 2 sin B - √3 sin C も同様に整理すると ⇒ (√3 + 2) cos B = sin B …(2) 最後に AB / sin C = AC / sinB より AB = AC * sin C / sin B (1)、(2)の結果を代入すると AB が求まります。
お礼
回答ありがとうございます。 なるほど、条件式を変形するとcosBとsinBの関係式が導けるのですね。 ありがとうございました。
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