図形の問題

質問

お世話になっております。

以下の問題の求め方を教えていただきたいです。

問題
三角形ABCで角Aが30度、AC=2、cosB=2sinB-(3^(1/2))sinCである。
点Bを通る三角形ABCの外接円の直径と辺ACの交点をDとする。
この時辺ABの長さを求め、線分ADとDCの長さの比を求めよ。

答え(解説なし)
AB=2
AD:DC=1:3^(1/2)

正弦定理を使うのかなとは思うのですが、解けなくて困っております。
宜しくお願い致します。

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

正弦定理でいいと思いますが、
加法定理で、（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）がでます。
と言うより、（Ａ）（Ｂ）を覚えていれば、（Ｃ）（Ｄ）は除算で・・・。
cos75度=sin15度=(√6-√2)/4　（Ａ）
sin75度=cos15度=(√6+√2)/4　（Ｂ）
tan75度=(2+√3)　　　　　　　　　　（Ｃ）
tan15度=(2-√3)　　　　　　　　　　（Ｄ）
------------------------
出題者は、cosB=2sinB-√3・sinC　に何か図形的な意味を、
持たせていると思います。
それが判れば最善ですが、判らないので愚直に計算します。

√3・sinC=2sinB-cosB
√3・sin[180度-(30度+B)]=2sinB-cosB
√3・sin(B+30度)=2sinB-cosB
√3・[(√3/2)sinB+(1/2)cosB]=2sinB-cosB
√3・[√3・sinB+cosB]=4sinB-2cosB
3sinB+√3・cosB=4sinB-2cosB
(2+√3)cosB=sinB
B≠90度
(2+√3)=tanB　これでB=75度がでますから、C=75度
△ABCは、AB=AC=2 の二等辺三角形です。

次に、
(点Bを通る△ABCの外接円の直径)と(外接円の交点)をＥとして、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｃ

,,Ｅ　
　　　　　　　　Ｄ
　　　　　　　　　　　外心Ｏ
Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ｂ
丁寧に図を描いて、円周角の定理などを用いて、
∠Ｅ＝∠Ｃ＝７５度、∠ＥＡＤ＝∠ＣＢＤ＝６０度、
対頂角が４５度、∠ＥＡＢ＝９０度などが判ります。

　△ＥＡＤとＣＢＤの相似がチラツキますが・・・。
ＡＤの値が判れば終了です。

まず、ＥＡを求めます。
ＥＡ=ＡＢ・tan15度=2・(2-√3) なので、
素直に正弦定理を△ＥＡＤに適用すればいいですが、

　　　　　　　　Ｅ

　　　　３０度,,４５度

　　６０度　　　　　　　　　４５度
Ａ　　　　　　　Ｈ　　　　　　　　　　　Ｄ

点Ｅから線分ＡＤに下ろした垂線の足をＨとする誘惑に勝てません。
順番に、
EA=2・(2-√3)
AH=(2-√3)
EH=√3(2-√3)
HD=√3(2-√3)
AD=AH+HD=(2-√3)+√3(2-√3)=2-√3+2√3-3=(√3-1)
DC=AC-AD=2-(√3-1)=3-√3=√3(√3-1)

AD:DC=(√3-1):√3(√3-1)=1:√3　...　　。

お礼

回答ありがとうございます。

結構長いのですね。
図形は昔から苦手で困っておりました。
助かりました。
ありがとうございました。

回答No.4

take_5

あっ、ゴメン。とんでもない勘違いしている。前の回答は取り消し。　<m(__)m>

お礼

回答ありがとうございます。

間違っててもいいんですよ。
いかに単純に華麗に解くか！
数学者なら挑戦して当然ですから＾＾

回答No.3

take_5

座標を使うと単純計算問題。。。。。笑　三角の問題だからといって、三角に拘る必要はない。

わざわざ半端な角度なんか持ち出す必要もない。

Ａ（-a、0）、Ｂ（b、0）、Ｃ（0、c）、a＞0、b＞0、c＞0とすれば、a＾2＋c＾2＝4、c/a＝tan30°＝1/√3より、連立するとa＝1、c＝√3。
余弦定理より、b＾2＋c＾2＝4＋（b+1）＾2-4（b+1）cos30°。
c＝√3からこれを解くと、b＝1.つまり、ＡＢ＝2.

次に外接円を、x＾2＋y＾2＋αx＋βy＋γ＝0とすると、この円が3点Ａ（-1、0）、Ｂ（1、0）、Ｃ（0、√3）を通るから、外接円はx＾2＋（y＋1/√3＾2＝7/3.
これのy軸との交点（0、-1/√3）とＢ（1、0）を通る直線は√3*y＝1-xであるから、直線ＡＣの方程式を求め、その交点がＤである。
‥‥以下省略。

回答No.1

noname#75273

まず、C = 180 - (B + 30)なので
sin C = sin ( 180 - (B + 30) ) = sin (B + 30)
⇒加法定理で整理　…(1)

また、cos B = 2 sin B - √3 sin C　も同様に整理すると
⇒　(√3 + 2) cos B = sin B　…(2)

最後に
AB / sin C = AC / sinB より
AB = AC * sin C / sin B
(1)、(2)の結果を代入すると AB が求まります。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、条件式を変形するとcosBとsinBの関係式が導けるのですね。
ありがとうございました。