無大気密度一様な理想液体の球形星

質問

の中心からｒの距離の圧力Ｐは
他の星の重力の影響がなく
万有引力定数がＧであり
星の半径がＲ（＞ｒ）であり
理想液体の密度がρであるとき
Ｐ
＝∫（ｒ＜ｘ＜Ｒ）・Ｇ・４・π・ｘ＾２・ｄｘ・ρ・４／３・π・ｒ＾３・ρ／ｘ＾２／（４・π・ｒ＾２）
＝４／３・π・Ｇ・ρ＾２・ｒ・（Ｒ－ｒ）
でしょうか？
これだと
星の中心の圧力は０であり
最も圧力の高いのはｒ＝Ｒ／２の点であり
π・Ｇ・ρ＾２・Ｒ＾２／３になるのですが・・・

（２，３日前の計算では
Ｐ
＝∫（ｒ＜ｘ＜Ｒ）・Ｇ・４・π・ｘ＾２・ｄｘ・ρ・４／３・π・ｘ＾３・ρ／ｘ＾２／（４・π・ｒ＾２）
＝π・Ｇ・ρ＾２・（Ｒ＾４－ｒ＾４）／ｒ＾２／３
としていたので星の中心の圧力は∞だと思っていた。）

回答No.7

noname#108554

丁寧な回答ですねえ>No.6さん

>中心でｐそのものの値が無限大になるかどうかは
>分かりませんが、dp/drは∞になりそうです。

それは物理的におかしいでしょう。
dp/dr(r=0)=0でないと原点でとがった点が出てきてしまいます。
ブラックホールなどならともかく、構造を持った星のモデルなら
それはモデルがおかしい可能性があります。

それはおいといて：

>２を敢えて言及しなかったのは定義を微分する必要が
>あるのか疑問だったからです。

通常は微分しておいたほうが便利です。
ここではρは一定なのでどうでもいいですが、
一般にはrに依存し、Mrが積分になってしまって
解きにくくなります。
また、星の構造理論ではrの代わりにMrを独立変数に取るので、
dMr=4πr^2 ρ dr
のように微分形式で変換できるように書いておいたほうが無難です。
それと、

>圧力の加算は意味が無いので

圧力の加算ではなくて、
圧力の差の加算なので、圧力になります。

お礼

船の邪念は正しいかもしれません。混乱してきました。
同じくtgbさんの考えを借用して

星表面に小さな面積Sの円を書きます。
中心と円を結ぶ円錐のうち中心からｒ以上の部分Ｗの力の釣り合いを考えます。

Ｗが外側から圧力によって中心に押しこまれる力は
0・S

Wが内側から圧力によって押し出される力は
p・S・(r/R)^2

Wに働く万有引力によってWが中心に押しこまれる力は
∫(r<x<R)・G・(S・(x/R)^2・dx・ρ)・(4/3・π・r^3・ρ)/x^2
=4・π・S・G・ρ^2・r^3・(R-r)/3/R^2

Wは動かないから押しこまれる力と押し出される力は等しいから
p・S・(r/R)^2=0・S+4・π・S・G・ρ^2・r^3・(R-r)/3/R^2

従って
P=4・π/3・G・ρ^2・r・(R-r)
となり（）内は間違いで質問に提示した式が正しくなるのです。

考えてみればスペースシャトルの中で浮かんでいる水の玉の中心の圧力が∞というのは恐るべき結論ですね。

補足

非の打ち所のないtgbさんの考え方により
ｄｐ／ｄｒ＋２・ｐ／ｒ＋４・π・Ｇ・ρ＾２・ｒ／３＝０
は疑いようのない方程式のようですね。
両辺にｒ＾２を掛けると
ｄ（ｐ・ｒ＾２）／ｄｒ＝－４／３・π・Ｇ・ρ＾２・ｒ＾３・・・（＊）
これは
ｄ（ｐ・４・π・ｒ＾２）＝
－Ｇ・（４／３・π・ｒ＾３・ρ）・（４・π・ｒ＾２・ｄｒ・ρ）／ｒ＾２
となるではないですか？
つまり
私の当初の考え方の（）内は正しかったのです。
船は邪念でしたね。

（＊）の両辺をｒからＲまで積分すれば私の当初の考え方通り

ｐ＝π／３・Ｇ・ρ＾２・（Ｒ＾４－ｒ＾４）／ｒ＾２

になります。
つまり中心の圧力は無限大で
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=684956
で散々批判を受けた私の考えは正しかったということになりますね。

tgbさんには感謝しても仕切れることはないと思います。
ibm111さんの考えは結局私の当初の私の考え方そのものだったんですね？