星の重力エネルギー

質問

半径R、質量M、密度ρ（一定）の星の重力エネルギーEgrは、
万有引力定数Gを用いて、

Egr=-(3GM^2)/5R

と書けるそうなのですが、
(M^2はMの二乗を意味します）
その導出過程がわからなくてとても困っています。
ご存じの方、教えてください。お願いします。

回答No.1

nakaizu

計算してみたところ-(3GM^2)/(2R)となりました。2と5を間違えていないでしょうか。

計算方法は星の各部分の位置エネルギーを積分すればいいはずです。
中心からr離れた所の位置エネルギーはその部分の質量をmとすると-(GMm)/rです。
極座標を使って積分すると
∫∫∫(-GMρ/r)r^2 cosθdrdθdφ
となります。積分範囲は0<r<R, -π/2<θ<π/2,0<φ<2π
です。表示がしにくいので等号は省略しました。
質量と密度の関係式 M=4/3πρR^3
を使ってρを消去すれば完成です。

お礼

回答ありがとうございます。
確かにその式だと3/2になりますね。
nakaizuさんの解説に間違っている点は発見できないのですが、
大学の授業（解説はなかったので値だけ）や、
下記のURLの10頁をみると、やはり3/5であるようです。
http://www.phys.sci.kobe-u.ac.jp/~nozaki/CLASS/4_birth.pdf

でも、本当に参考になりました。
積分することすら思いつかなかったです（汗
ありがとうございました。