球対称の星の内部の圧力

質問

質量M半径Rが密度が一定の球対称の星の平衡状態を考えるとき星の内部の圧力を中心からの距離rの関数として求めよ。万有引力定数はGとし表面での圧力はゼロとする。

という問題で、密度をρ、Mrは半径rの星の質量とするとき　Mr＝(r/R)^3Mとなり
私は静水圧平衡から
dP/dr=-GMrρ/r^2を積分して求めると
P=-GMρr^2/2R^3とったのですが
実際は
P=2πGρ^2(R^2-r^2)/3とならなければいけないらしいです、、、。
初歩的なことですみませんが根本的に間違っているところがあるのかもしれないのですが、どうしたら正しい結果が出るのか教えて欲しいです。

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

考え方の基本方針はそれでよいと思います。

P=-GMρr^2/2R^3ということは
P=-2πGρ^2r^2/3ということですね。
不定積分は確かにそうなりますが、Rからｒの範囲での
定積分の結果を求めなければなりません。
P=[-2πGρ^2r^2/3]で、範囲はRからrです。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。
おかげで正しい答えが出ました。本当にありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「星の表面で圧力が 0」という条件を忘れています.
あとは M = (4π/3)ρR^3 を代入するとそれっぽくなります.

お礼

ありがとうございました！！一番基本の初期条件を忘れていました。
本当にありがとうございました。