万有引力の問題わからない問題があります。

質問

万有引力の問題わからない問題があります。
問題は
無重力空間で質量Ｍの２つの物体が距離Ｒ離れて静止しています。このときをｔ＝０とする。２物体間には万有引力しか働いてないとして、お互いに引き合って衝突するまでにようする時間ｔを求めると、ｔ＝（2/3）√Ｒの三乗/2GMになることを示せ。ただし、Ｇは重力定数である。
できれば高校生でもわかりやすくお願いします。

回答No.2

yokkun831

>微分方程式でも解けますか？

先の回答は途中で

dr/dt = -2√{ GM(1/r - 1/R) }

という微分方程式を得て，それを解いたかっこうになっています。エネルギー保存自体が運動方程式を積分して得られるものなので，数学的には同等の手順といえます。

もちろん，運動方程式

M・1/2・d^2r/dt^2 = -GM^2/r^2

を解いても同じで，経過時間を距離の関数t=t(r)として求めるのはやさしいのですが，その逆関数r=r(t)を解析的に（数値計算でなく）求めることができるのか疑問です。数値積分の結果を図に示します。設定はGM=1,R=10としていますが，シミュレーションの結果によく一致しているように思われます。

回答No.1

yokkun831

これは明らかに高校レベルを超えた問題だと思われます。

２物体間の距離rのときの両者の重心に対する速さをvとするとき，２物体系のエネルギー保存は，

2×1/2・Mv^2 - GM^2/r = -GM^2/R
∴v^2 = GM(1/r - 1/R)
dr/dt = -2v = -2√(GM)√(1/r - 1/R)
∴-1/{2√(GM)}・∫[R～0]dr/√(1/r - 1/R) = ∫[0～t]dt
∴t = -1/{2√(GM)}・∫[R～0]√rdr/√(1-r/R)

√(r/R) = cosθとおくと，dr/{2√(Rr)} = -sinθdθ
∴　dr = -2Rsinθcosθdθ
∴　t = 1/√(GM)・∫[0～π/2]{R√Rsinθcos^2θdθ/√(1-cos^2θ)
= R√R/{2√(GM)}・∫[0～π/2](1 + cos2θ)dθ
= π/4・√{ R^3/(GM) }

となると思います。答えが合いませんが。＾＾；
シミュレーションでは，こちらの答えが大体あってるんですけど。

お礼

ありがとうございます。
微分方程式でも解けますか？