複数の質点から受ける万有引力の求め方。

質問

複数の質点から受ける万有引力の求め方。
「地球上の物体に及ぼす地球の引力は、地球各部が及ぼす万有引力の合力であり、これは【地球の全質量が地球の中心に集まった時に及ぼす万有引力に等しい】」
と物理の教科書に書いてありました。
【】内の文がどうしても納得できません。

試しに簡単な例を考えて計算してみました。
質点Ａ（ｍ[kg]）、質点Ｂ（Ｍ[kg]）、質点Ｃ（Ｍ[kg]）がこの順で同一直線上にあり、
ＡＢ間、ＢＣ間の距離はｒ[m]（つまりＡＣ間は２ｒ[m]）

(1)ＡがＢとＣから受ける万有引力ｆ[N]は、万有引力定数をＧとして
　ｆ＝ＧｍＭ（１／ｒ^2＋１／(２r)^2）＝５ＧｍＭ／４ｒ^2

(2)【】内の文のように考えれば、ＢとＣの重心をＤとすると、
　Ｄの質量は２Ｍとなり、位置はＢＣの中点で、ＡＤ間の距離は３ｒ／２となるので、
　ｆ＝Ｇｍ(２Ｍ)／（３ｒ／２）^2＝８ＧｍＭ／９ｒ^2

このように値が異なってしまいました。

(1)は正しいはずなので、(2)が間違っているはずなのですが、
どこが間違っているのか教えてください。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

上の文章が正しいのは, 実は「質量が球対称に分布している」ときだけです. つまり, 下の「簡単な例」にあがっている質量分布は上の文章の条件にマッチしていないので違う答えになってもおかしなことではありません.
もちろん, 厳密にいえば地球の質量分布も球対称ではないので, 上の文章は間違っているといえなくもない.

補足

>上の文章が正しいのは, 実は「質量が球対称に分布している」ときだけです

では、質量が球対称に分布していると、どうして惑星上の重力（正確には万有引力）を考える時に、全質量が中心１点に集まっていると考えることができるのでしょうか？
地球について上の「」の仮定が成り立つとして、地上に立っている人間に及ぼす万有引力は、
同質量の、すぐ足元の物質（ｒ≒０[m]）と、地球の裏側（対蹠点）の物質（ｒ＝地球の直径[m]）とでは大きく違いますよね？
教科書の文が正しいのなら、
地球を構成している無数の原子・分子からの万有引力の総和＝それら全てが中心一点に集まったと考えた時の万有引力
となりますが、
万有引力の式に１／ｒ^2という形があることを考えると、これがどうもイメージできません。
これって、イメージできなくても納得しないことなのでしょうか？
それとも大学物理で詳しくやったりするのでしょうか？

回答No.3

juyjuy

>地球の全質量が地球の中心に集まった時<

正しくは「地球の重心」だと思います。

回答No.1

kentajp

ウィキペディア　万有引力と調べれば答えがのってますよ