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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:万有引力の位置エネルギー)

万有引力の位置エネルギーとは?

このQ&Aのポイント
  • 質量mの物体が高さhの点でもつ万有引力の位置エネルギーは、U(R)=-GMm/Rと表される。
  • 差を利用する場合、U(R+h)とU(R)の差を計算し、結果が位置エネルギーの変化量となる。
  • 近似式では、h<<Rの場合に単純化される式を用いることができる。

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noname#175206
noname#175206
回答No.3

 高さが高いほうが大きな位置エネルギーを持ちます。R+hでの位置エネルギーからRでの位置エネルギーを引けば、Rを基準とした高さhの位置エネルギーが求められます。 -GMm/(R+h)-(-GMm/R) =-GMm/(R+h)+GMm/R ←マイナスで引き算なので足し算に =(-GMmR+GMm(R+h))/R(R+h) ←R(R+h)で通分して足し算 =(-GMmR+GMmR+GMmh)/R(R+h) =GMmh/R(R+h) ←R>hのときの近似しない厳密な式 h/R(R+h)=A/R+B/(R+h)と置いてみます。 A/R+B/(R+h) =(A(R+h)+BR)/R(R+h) =(AR+Ah+BR)/R(R+h) となるから、h=AR+Ah+BRとなり、Ahの項からA=1と定めることができ、その場合はB=-1と定まります。よって、 A/R+B/(R+h) =1/R-1/(R+h) となるので、 GMmh/R(R+h) =GMm/R-GMm/(R+h)  R≫hだとしても、このままh=0と考えてしまうと、位置エネルギーが常に0になってしまう罠にはまります。  そこで、1≫|r|で成り立つ近似式(1+r)^n≒1+nrを使います(これの証明は割愛します)。n=-1とすれば、1/(1+r)=(1+r)^(-1)≒1-rです。 GMm/R-GMm/(R+h) =GMm/R-(GMm/R)/(1+h/R) ←第2項の分子と分母をRで割る ≒GMm/R-(GMm/R)(1-h/R) ←r=h/Rとして近似式を適用 =GMm/R-GMm/R+(GMm/R)(h/R) =GMm/h  位置エネルギーの式と形が同じなので、単位的には合っているような気がします(地表での重力加速度をgとしたときの位置エネルギーmghがこれと一致するはずですが、確かめていません)。  または、GMmh/R(R+h)から直接であれば以下のようになります。 GMmh/R(R+h) =(GMmh/R^2)/(1+h/R) ≒(GMmh/R^2)(1-h/R) =GMmh/R^2-GMmh(h/R)/R^2 =GMmh/R^2-GMmh^2/R^3 =(GMmh/R^2)(h-h/R)  うーむむ。行き詰まりました。どうも私ごときでは綺麗な形にするのは難しそうです。

noname#158014
質問者

お礼

(1+r)^n≒1+nrという近似式もあるんですね ありがとうございました!

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その他の回答 (5)

  • siegmund
  • ベストアンサー率64% (701/1090)
回答No.6

siegmund (物理屋)です. cozycube1 さんの No.5 拝見しました. 批評がましくて失礼しましたが,ご丁寧に恐縮です. 「様」ではなくて「さん」くらいにしてください(^^). 「そこで、1≫|r|で成り立つ」以下の式で, 最後の辺に移るところが違っていますが,書き損ないでしょうかね. テキストで式を書くと非常に読みにくいので, 考えながらテキストで直に解答を書いているとよく間違えます. それから 「または、GMmh/R(R+h)から直接であれば以下のようになります。」 以下の式では, ≒(GMmh/R^2)(1-h/R) で,2個目の( )の中の h/R は 1 に比べて高次項ですから h/R の最低次を考えるときには無視して差し支えなく, これが私の回答の骨子です. この式の最後の辺の2個目の( )の中の h-h/R はやはりおかしいですね これも書き損ないみたいですが,. h は長さなのに h/R は無次元ですから加減はできません.

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noname#175206
noname#175206
回答No.5

 #4 siegmund様のご回答を拝読いたしまして。 >cozycube1 さんはどこかで計算ミスされたようです.  やや! そうでしたか。 >h をゼロにした場合に位置エネルギー差はゼロになるはずですが,GMm/h ではそれが無限大になってしまいます.  然り、その通りでした。「どうもmghにつながらない、おかしい…」と思っておりましたが、定性的に眺めて間違いが明らかなのに、気が付きませんでした。orz  GMmh/R^2だと、すぱっとmghにつながりますね。  なんとか質問を開けて頂いていてくださって、間に合ったようです。  #3での私の回答は、定性的に考えても、簡単に間違いと分かるものでした。  質問者様には深くお詫びし、siegmund様のご指導に深く感謝しまして、先の回答が誤りのため、撤回させて頂きたく存じます。  毎度毎度、申し訳ありません。

noname#158014
質問者

お礼

質問者様なんておそれ多いです お詫びどころか、回答していただいて助かりました ありがとうございました!

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  • siegmund
  • ベストアンサー率64% (701/1090)
回答No.4

(1)  GMmh/R(R+h) からはじめましょう. (2)  1/(R+h) = (1/R){1/(1+(h/R))} = (1/R){1-(h/R) + [(h/R)の高次項]} ですから,h/R の最低次で (3)  GMmh/R(R+h) ≒ GMmh/R^2 です. 計算はこれで終わりですが,「はい,おしまい」ではつまりません. 地表において質量 m の物体に対する重力 mg は 地球が物体に及ぼす万有引力に他なりませんから (4)  GMm/R^2 = mg  ⇒ GM = gR^2 です. したがって,(3)は (5)  GMmh/R(R+h) ≒ mgh を意味します. (5)の右辺はどこかで見たはずの式ですよね. こういうことを考えるのがとっても大事です. なお,h << R は地表からの距離 h が地球の半径 R に比べて問題にならないくらい小さい, ということです. cozycube1 さんはどこかで計算ミスされたようです. h をゼロにした場合に位置エネルギー差はゼロになるはずですが, GMm/h ではそれが無限大になってしまいます.

noname#158014
質問者

お礼

すみません、間違って補足に書いてしまいました

noname#158014
質問者

補足

万有引力の位置エネルギーが地表を基準にするとおよそ重力の位置エネルギーになるんですね! 確かに重力は地球の万有引力ですもんね ありがとうございました!

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  • tomham315
  • ベストアンサー率31% (50/161)
回答No.2

再回答します。 「補足」について う~ん、離れているというか、地球の半径はめちゃくちゃ長いということです。 「お礼」の質問について 両辺に1/Rかけたら一発終了

noname#158014
質問者

お礼

(h/R^2)÷1+(h/R)は自己解決しました さっきから本当にごめんなさい

noname#158014
質問者

補足

数直線で考えていたので、離れてるという表現になってしまいました すみません h/R+h=(h/R)/1+(h/R)の(h/R)/1+(h/R)って(h/R)÷1+(h/R)のことですか? だとしたら、1/Rをかけると (h/R^2)÷1+(h/R)となるのですが、これはどう計算するのでしょうか? また、同じになるのはわかるのですが、h/R+hから(h/R)/1+(h/R)を導く方法はないですか?

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  • tomham315
  • ベストアンサー率31% (50/161)
回答No.1

U(R+h)-U(R)でno problemでしょう? つまり、ΔU=-GMm/(R+h)+GMm/R=GMmh/R(R+h)となる。ここまでOK? 次に、ΔUの、h/R+h=(h/R)/1+(h/R) =0/1+0=0《←ここで、h<<Rよりh/R≒0》 上の《》内で、ただのh<Rだったら、R=h+1とかかもしれない。それだと h/Rは0に近似できないでしょ?

noname#158014
質問者

お礼

すみません、h/R+hの出所はわかりました ただ、h/R+hが(h/R)/1+(h/R)と変形するのはどうすればよいでしょうか?

noname#158014
質問者

補足

つまりh<<Rはかなり離れてるということですね ありがとうございました! 質問ですが ΔUの、h/R+h=(h/R)/1+(h/R) というところで、h/R+hというのはどこから出てきたのでしょうか?

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このQ&Aのポイント
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