力学的エネルギー保存則と万有引力の関係

このQ&Aのポイント
  • 力学的エネルギー保存則は、質量mの粒子Aが位置rにあるとき、F=kr^n・r/rの力が働くことを示します。
  • m・d^2r/dt^2・dr/dt = F・dr/dtを変形すると、d/dt (1/2 m (dr/dt)^2) = F・dr/dtとなります。
  • 実際の例として万有引力を考えると、質量Mの天体がある場合、万有引力定数Gを使ってk=-GMm n=-2となります。
回答を見る
  • ベストアンサー

F→=kr^n・r→/r の万有引力

質量mの粒子Aが一ベクトルr→で表される位置にある時 F→=kr^n・r→/r の力が働いているとき、力学的エネルギー保存を示せという問題と万有引力を考える問題がありました。 力学的エネルギー保存則を示すには m・d^2r→/dt^2 ・ dr→/dt = F→ ・ dr→/dt を変形して d/dt ( 1/2 m (dr→/dt)^2) = F→ ・dr→/dt としてt1→t2まで定積分して 1/2mv_2^2 - 1/n+1 kr_2^n+1 = 1/2mv_1^2 - 1/n+1 kr_1^n+1 となることは自力で順序に従って回答でき答えもあっていましたが その次の では実際にこのF→の例として万有引力を考え、質量Mの天体があり万有引力定数をGとすると k = (1) 、 n=(2) になる という問題でk=-GMm n=-2となると解答に書いてありましたがどうしてその式が導出されるのかがまったくもってわかりません。 万有引力はGMm/R^2で表されることは知っています。 どうやって上記の(1)(2)の回答がそれぞれ k=-GMm n=-2となるのか丁寧に解説をお願い申し上げます。

  • ligase
  • お礼率92% (997/1082)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.1

そうむずかしい話ではなくて >万有引力はGMm/R^2で表されることは知っています。 が万有引力の大きさで,力のベクトルにすれば,引力なので符号はマイナス,動径方向の単位ベクトルがr→/rなので,ベクトルであらわした万有引力は F↑(万有引力) = (- G Mm/r^2)(r→/r) これを一般式 F→=(kr^n)(r→/r) と見比べてkとnを決めるだけです. 他には電磁気のクーロン力もこの一般式の形になっていて, k = Qq/4πε n = -2 です.

ligase
質問者

お礼

いつもご親切に簡略的でありながらものすごいわかりやすいご説明をご教授下さり誠にありがとうございます。 お陰様で同じものを見比べるというプロセスが分かりました。 今後ともご教授の程よろしくお願い申し上げます。 お返事が遅くなり大変失礼いたしました。

関連するQ&A

  • 万有引力の公式が導けない

    万有引力の公式F=GMm/r^2が導けません。 質量Mの太陽の周囲を半径rの円軌道で好転する質量mの惑星に働く向心力を、 円運動の周期やケプラーの第3法則を使って、f=(4mπ^2)/kr^2にするところまでは できました(k=T^2/r^3)。作用反作用の法則により、太陽にも同じ力がかかっている。 ここから先に進めません。 いろんな本によって話の進め方が異なりますが、どれを読んでも、最終的に F=GMm/r^2の形にしようとして、話が進んでいるように見えます。 例えば、G=4π^2/kMと置いて式変形させていたりします。これって結論ありきで、 それに合うように式を作っているようで、非常に不自然に感じます。 f=(4mπ^2)/kr^2から太陽の質量がどうやって入ってきたのか、最終的に、 どういう式変形の下、F=GMm/r^2に行きつくのでしょうか。

  • 複数の質点から受ける万有引力の求め方。

    複数の質点から受ける万有引力の求め方。 「地球上の物体に及ぼす地球の引力は、地球各部が及ぼす万有引力の合力であり、これは【地球の全質量が地球の中心に集まった時に及ぼす万有引力に等しい】」 と物理の教科書に書いてありました。 【】内の文がどうしても納得できません。 試しに簡単な例を考えて計算してみました。 質点A(m[kg])、質点B(M[kg])、質点C(M[kg])がこの順で同一直線上にあり、 AB間、BC間の距離はr[m](つまりAC間は2r[m]) (1)AがBとCから受ける万有引力f[N]は、万有引力定数をGとして  f=GmM(1/r^2+1/(2r)^2)=5GmM/4r^2 (2)【】内の文のように考えれば、BとCの重心をDとすると、  Dの質量は2Mとなり、位置はBCの中点で、AD間の距離は3r/2となるので、  f=Gm(2M)/(3r/2)^2=8GmM/9r^2 このように値が異なってしまいました。 (1)は正しいはずなので、(2)が間違っているはずなのですが、 どこが間違っているのか教えてください。

  • 万有引力に関する問題

    万有引力に関する問題で 質量M、半径Rの一様な球殻(中は空洞)の中心から、距離rだけ離れたところにある質量mに働く万有引力は F=-G(Mm/r^2) (r>Rのとき)    0         (r<Rのとき) であることを示せ(注:ポテンシャルエネルギーUを先に計算し、f=-dU/drから求める方が簡単)。 とあるのですが、どう記述してよいかわかりません(><)。 注意書きを見ても、そもそも万有引力を定義したうえでポテンシャルエネルギーが導かれるものでは?と悩んでしまい、うまく使えません...... さらに、万有引力自体は実験的な式で数学的に証明することもできず、完全に手詰まりになってしまいました(;;) もしいい案があれば解答いただけるとありがたいです!

  • 物理の万有引力についての質問です

    物理の万有引力の質問です。問2までは解けたのですが、問3から問5まで分からず困っています。どなたか解ける方がいらっしゃいましたら、教えていただきたいです。よろしくお願いします。 〈問題〉 図1のように地上から、質量mの衛星を打ち上げて軌道に乗せることを考える。ただし、地球は点Oを中心とする密度一様な球体とし、地球の半径をR,地球の質量をM、万有引力定数をGとする。また、地球の自転による効果については考慮しない。 問1 地上での重力加速度の大きさをR, M, Gを用いて表しなさい。 mg=GMm/R^2 g=GM/R^2 問2 衛星を地上より鉛直上向きに速さ Voで打ち上げて,地球の中心から 2R の点Aに達した時に速さが0になった。この時の速さVoを求めなさい。 力学的エネルギー保存則より、 1/2mv0^2-GMm/R=0-GMm/2R 1/2mv0^2 =-GMm/2R +GMm/R          =GMm/2R mv0^2=GMm/R v0^2=GM/R v0=√GM/R 問1より、GM=gR^2より、v0=√gR 問3 衛星が点Aに速さ0で達した直後,OAに垂直な方向に速さ VAに加速して、点Aから地球の中心を通る延長線上の OB = 6R となる点Bに到着した。この時の速さVA,及び、点Bに到着した時の速さ VBを求めなさい。 間4 衛星が点Bに達した直後,速さ Vcに加速して地球に対し半径 6Rの等速円運動をさせる。その時の速さ Vcと公転周期Tcを求めなさい。 問5 地球に対し半径 6R の等速円運動をしている衛星の運動エネルギーKを用いて、この衛星がもつ力学的エネルギーを表しなさい。ただし、万有引力による位置エネルギーの基準点は無限遠とする。

  • 万有引力のベクトル表示

    質量M[kg]の質量が原点にあり、質量m[kg]の質量が、 位置ベクトルrにある。質量mに働く万有引力F(ベクトル)を、 r(ベクトル)、M、m、G(万有引力定数)を用いて示せ。 万有引力のベクトル表示の求め方を できるだけ計算式を使わずに 教えてください。お願いします。

  • 万有引力の法則について

    高校物理の質問です。 物理IIに出てくる、万有引力の公式F=GMm/r^2なのですが、太陽の質量Mに比例する理由が分かりません。 この式の求め方で、大体の教科書では、引力が惑星の向心力となっているので、惑星の質量mに比例し、距離の2乗に反比例するとかいてあります。 ここまではいいのですが、その後、太陽の質量Mにも比例すると書いてあるのですが、どの出版社の教科書を見ても説明があいまいで納得できません。 なので、太陽の質量Mに比例することを理論的に説明してほしいです。 よろしくお願いします。

  • 万有引力の法則について

    非常に基本的かと思いますが、公F=GMm/r2について M m は質量」という記載があるのですが、引力って極性があるから働くものだと思っていたのです。つまりSNやプラス マイナスのように。質量があるだけで引力って働くのでしょうか? 身近な物を見ても引力が働いてるように思えません。コップとお皿とか・・・? 重力については理解しているつもりです。 お願いします。

  • 万有引力の位置エネルギー

    こんばんは。万有引力の位置エネルギーについて質問します。  万有引力は2つの物体の距離の2乗に反比例するとのことですが、   F=GMm/r^2  万有引力の位置エネルギー    U=-GMm/r   はなぜ(距離の2乗に反比例ではなく)距離に反比例なのでしょうか?  素朴な疑問です。理解できるかどうかわかりませんが、ともかく質問します。よろしくお願いします。

  • 万有引力の位置エネルギー

    万有引力定数をG、地球の質量をM、地球の半径をR、自転は無視とする 地表を万有引力の位置エネルギーの基準にすると高さhの点で質量mの物体がもつ万有引力の位置エネルギーはどのように表されるか 2点間の位置エネルギーの差は変わらないことを利用せよ またh<<Rの場合について近似式を用いて結果を簡略化せよ とりあえず無限遠を基準にすると、地表にある物体の位置エネルギーU(R)=-GMm/R、地表から高さhの点にある物体の位置エネルギーU(R+h)=-GMm/(R+h) この差を利用するのは分かるのですが、どちらからどちらを引けばよいのでしょうか?また、h<<Rはh<Rと何が違うのでしょうか?そして、近似式で表すにはどうすればよいでしょうか? 教えてください!

  • 万有引力が中心力であることを示せ

    原点Oに固定されている質量Mの質点から、距離rに位置している質量mの質点が受ける万有引力の位置エネルギーが U=-GMm/r で与えられるとき、質点の受ける力Fベクトルを Fベクトル=-grad U を計算して力が距離だけの関数でしかも方向が原点を向く中心力であることを示せ。 ただしr二乗=x二乗+y二乗+z二乗 である。 自分でも考えてみたんですがよくわかりません。 どうやって中心力だと示せばいいんでしょうか・・・ どなたか教えてください。お願いします