万有引力に関する問題

質問

万有引力に関する問題で

質量Ｍ、半径Ｒの一様な球殻（中は空洞）の中心から、距離ｒだけ離れたところにある質量ｍに働く万有引力は
Ｆ＝－Ｇ（Ｍｍ/ｒ＾２）　（ｒ>Ｒのとき）
　　　０　　　　　　　　　（ｒ<Ｒのとき）
であることを示せ（注：ポテンシャルエネルギーＵを先に計算し、ｆ＝－ｄＵ/ｄｒから求める方が簡単）。

とあるのですが、どう記述してよいかわかりません（＞＜）。
注意書きを見ても、そもそも万有引力を定義したうえでポテンシャルエネルギーが導かれるものでは？と悩んでしまい、うまく使えません......
さらに、万有引力自体は実験的な式で数学的に証明することもできず、完全に手詰まりになってしまいました（；；）

もしいい案があれば解答いただけるとありがたいです！

回答No.4

SKJAXN · ベストアンサー

見難くて申し訳ありませんが、テキスト入力のため定積分を{a→b}∫f[x]dxと表現させていただきます。

球の表面積が4π*R^2になることをヒントにしてみましょう。
球を地球のように考えて、緯度θの位置の自転軸からの半径はR*cosθとなります。その位置から緯度線方向に微小角dφ、経度線方向に微小角dθとすると、微小要素の面積はdSは、
dS=(R*cosθ*dφ)*(R*dθ)=R^2*cosθ*dφ*dθ →{1}

となります。式{1}を緯度線方向、経度線方向に積分すると、
S=R^2*({0→2π}∫dφ)*({-π/2→π/2}∫(cosθ*dθ)=R^2*2π*{-π/2→π/2}[sinθ]=4π*R^2

と求められます。これを応用します。
球殻の密度ρは、
ρ=M/(4π*R^2) →{2}

です。上記同様にdφ、dθの微小要素の質量dMは、dM=ρ*R^2*cosθ*dφ*dθです。
ここで球殻上の微小要素の座標は、[R*cosθ*cosφ, R*cosθ*sinφ, R*sinφ]で表わされ、質量mの座標を[0, 0, r]とおくと、2点間の距離が
√((R*cosθ*cosφ)^2+(R*cosθ*sinφ)^2+(R*sinφ-r)^2)=√(R^2-2r*R*sinθ+r^2)

となりますので、微小要素によるポテンシャルエネルギーdU[r]は
dU[r]=-G*dM*m/√(R^2-2r*R*sinθ+r^2)=-G*m*ρ*R^2*cosθ/(√(R^2-2r*R*sinθ+r^2))*dφ*dθ →{3}

で表わされます。式{3}はφの要素を持っていないため、球の表面積を求めたのと同様に積分すると2πとなり、式{3}は
dU[r]=-2π*G*m*ρ*R^2*cosθ/(√(R^2-2r*R*sinθ+r^2))*dθ →{4}

となります。ここで√(R^2-2r*R*sinθ+r^2)をθで微分すると、-r*R*cosθ/(√(R^2-2r*R*sinθ+r^2))となることを考慮に入れると、式{4}は
dU[r]=2π*G*m*ρ*R/r*(-r*R*cosθ/(√(R^2-2r*R*sinθ+r^2)))*dθ →{5}

と変形でき、式{5}を積分すると
U[r]=2π*G*m*ρ*R/r*{-π/2→π/2}∫(-r*R*cosθ/(√(R^2-2r*R*sinθ+r^2)))*dθ=2π*G*m*ρ*R/r*{-π/2→π/2}[√(R^2-2r*R*sinθ+r^2)]=2π*G*m*ρ*R/r*(|R-r|-(R+r))

となります。ここで式{2}を代入すると
U[r]=G*m*M/(2R*r)*(|R-r|-(R+r)) →{6}

式{6}よりr>Rのとき、
U[r]=G*m*M/(2R*r)*(-2R)=-G*m*M/r →{7}

r<Rのとき、
U[r]=G*m*M/(2R*r)*0=0 →{8}
式{7},{8}が球殻のポテンシャルエネルギーです。

問題の注釈(ｆ＝－ｄＵ/ｄｒ)のとおり式{7},{8}を代入すると、r>Rのとき、
F=-G*m*M/(r^2);

r<Rのとき、
F=0;

いかがでしょう？

回答No.6

SKJAXN

No.4と同じ者です。誤記がありました。申し訳ありません。

【誤】r<Rのとき、
U[r]=G*m*M/(2R*r)*0=0 →{8}

【正】
U[r]=G*m*M/(2R*r)*(-2r)=-G*m*M/R →{8}

式{8}は定数であるため、ｆ＝－ｄＵ/ｄｒを計算すると、
F=0となります。

お礼

とても詳しい説明ありがとうございました！
おかげさまで解答にたどり着くことができました！
式も詳しく書いてくださっているので、とてもわかりやすかったです。
助かりました（＾＾；）

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

No2 を回答したものです。

おそらく問題は 積分で地道に解いてみろということなんでしょうね。

重さ dM の質点の重力ポテンシャルは -dm X G/r (r は質点までの距離)
なので球殻のポテンシャルを積分すれば比較的簡単に答えが出ます。
ヤコビアンを使って極座標で積分するのがコツです。
ポテンシャルが求まれば、それを空間微分すると重力場が求まります。

後、No2で書いたとおり、ガウスの発散定理を使うと、
球殻の中心を囲む任意の球面上の重力は、球面の
半径の２乗に反比例し、球に「含まれる」質量に比例する
ことが直ちに判ります。こちらを覚えると、重力の
形をかなり直感的に把握できます。

お礼

発散定理については今まで詳しく聞いたことがなかったので、参考にさせていただきます！
補足解答もありがとうございました。
もう一回自分で計算してみます（＾＾）

回答No.3

noname#175206

電磁気学の教科書か詳細解答付問題集を探してみてください。
　一様に電荷を帯びた球殻の電磁場の求め方が記載されているものが見つかるはずです。
　もちろん遠隔作用説による解説・解答になっているはずです。
　そして、電荷の間に働く力と、質量の間に働く式は「まったく同じ」形式をしています。
　つまり、電磁気の問題・解答を、重力の場合の変数やパラメータに入れ替えれば、正しい回答にたどり着けます。

お礼

なるほど、そういう方法もあるんですね。
たしかに言われてみれば納得の内容です！
ありがとうございました！

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

これはガウスの発散定理知っていればほぼ自明です。
まずはガウスの発散定理を重力場に適用することから
はじめてください。

回答No.1

sanori

こんにちは。

＞＞＞そもそも万有引力を定義したうえでポテンシャルエネルギーが導かれるものでは？と悩んでしまい、うまく使えません

それは考えすぎです。
万有引力の法則の式がある前提で解けばよいのです。

ポテンシャルエネルギーは、１／ｒ　に比例。
引力は、１／ｒ^2　に比例。
前者の方が簡単そうですね。

ある位置ｒにある物体から球殻の各部分までの距離を考えればよいですね。
「各部分」というのは、太さを持った円です。
「太さ」というのは、球殻の厚さにある三角比をかけたものになりますね。

それぞれの円に対する物体のポテンシャルエネルギーの合計の計算（すなわち積分）をすればよいですね。

お礼

なるほど！そういうことだったんですね（＾＾）
参考になりました。
ありがとうございます！