万有引力についての問題です

質問

万有引力についての物理の問題です。途中経過も教えてくれるとありがたいです。

惑星の公転運動は楕円であるが、地球の軌道はほぼ円とみてよいので、円軌道であるとすると、ケプラーの第二法則によって、等速円運動していることとなる。太陽の質量をＭｓ、太陽の中心から地球の中心までの距離をＲｓ、地球の質量をＭ、公転周期をＴとする。地球の等速円運動に必要な向心力の役目をするのは太陽の引力でＦｓで、Ｆｓ＝（ア）と表される。ケプラーの第三法則によって、Ｔ＾２はＲｓ＾３に比例するから、これを上の式に代入すると、Ｆｓ＝Ｋｓ×（イ）となる。ここで、Ｋｓは比例定数である。
月もほぼ地球の周りを等速円運動している。そのために必要な向心力の役割をするのは地球の引力f で、その力の性質は太陽が地球を引く力Ｆｓと同じであると仮定する。月の質量をm 、地球の中心から月の中心までの距離をr とすると、f =Ke×（ウ）と表される。地球の半径をＲとし、地球が地表面にある質量m' の物体を引く力をf ' とすると、同様に、f '=Ke×（エ）となる。月が地球に向かう加速度a、地表面における加速度（重力加速度）をg とすると、運動の第二法則によって
a:g=f/m:f '/m'=（オ）（　：　）　　a=（カ）
が得られる。9.8[m/s^2]、r=60Rをこれに入れると、a=（キ）[m/s^2]となる。
一方、月の公転周期をt とすると、aをrとtで表して、a=（キ）となる。
r=3.84×10^8[m]、t=27.3日をこれに入れると、a=（ケ）[m/s^2]となる。この２つのaの値はほとんど一致しているから、f の性質がＦｓの性質と同じであるとした仮定は正しいと考えてよいだろう。
力は一方的にはたらくものではないから、地球も太陽に引力を及ぼしているであろう。これをＦｅとし、その性質もＦｓと同じであると考えると、Ｆｅ＝Ｋｅ×（コ）と表される。運動の第三法則（作用・反作用の法則）により、ＦｓとＦｅの大きさは等しい。これをＦとすると（イ）、（コ）からＦ＝Ｇ×（サ）が得られる。Ｇは定数（万有引力定数）である。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

「途中経過も」とのことでしたから、それなりに詳しく解説したいと思います。解説の中に、"解答"が含まれています。読んでいただければ、探し出せると思います。

太陽質量Ｍs，地球質量Ｍ，月の質量ｍ，地表に有る物体の質量ｍ'
太陽－地球間距離Ｒs，月－地球間距離ｒ，地球半径Ｒ
地球の公転周期Ｔ，月の公転周期ｔ
地球が太陽から受ける引力の大きさＦs，月が地球から受ける引力の大きさｆ，地表に有る物体が受ける重力ｆ'，太陽が地球から受ける引力の大きさＦe
とします。

(1)地球が等速円運動するのは、太陽からの引力Ｆsを受けているからです。
等速円運動しているなら、向心力を受けているはずです。
　向心力＝地球の質量・公転半径・角速度^2
と書けます。また、
　角速度＝2π/公転周期
ですから
　地球が受けているはずの向心力Ｆs＝Ｍ・Ｒs・(2π/Ｔ)^2
　＝4π^2・(Ｍ・Ｒs/Ｔ^2)　（ア）
ところで、ケプラーの第３法則によれば、
　Ｔ^2＝ｋ・Ｒs^3　　（ｋは適当な比例定数です）
と書き表すことができますから、これを（ア）に適用してＴ^2部分を書き直すと
　Ｆs＝4π^2・(Ｍ・Ｒs/(k・Ｒs^3))＝(4π^2/k)・(Ｍ/Ｒs^2)
ここで、(4π^2/k)は定数なので、Ｋsとでも書いておくことにすれば
　Ｆs＝Ｋs・(Ｍ/Ｒs^2)　（イ）
と書き表すことができます。

(2)ところで、地球に作用する太陽からの引力は、月に作用する地球からの引力と同じ性質のものであり、さらに、地球表面に有る物体に作用する地球からの引力（＝重力）も同じ性質の力ではないか、と考えてみます。その性質とは、（イ）からわかるように、引力を受ける物体の質量に比例し、距離の２乗に反比例する、という性質です。

こう考えて良いとすると、月に作用する、地球からの引力は(適当な比例定数Ｋeを使って)
　ｆ＝Ｋe・ｍ/ｒ^2　　（ウ）
地表に有る質量ｍ'の物体が受ける地球からの引力は
　ｆ'＝Ｋe・ｍ'/Ｒ^2　（エ）
と書けることになります(どちらも地球から受ける力ですから、同じ比例定数が使えるはずです)。
ところで、運動の第２法則から、
　物体が受ける力＝質量・加速度
という関係が成り立っているのですから
月が受ける加速度(円運動の加速度ですから、向心加速度に当たります)をａとすると
　ｆ＝ｍ・ａ
地表の物体が受ける加速度＝重力加速度ｇは
　ｆ'＝ｍ'・ｇ
と書くこともできるはずです。これら２式から
　ａ：ｇ＝ｆ/ｍ：ｆ'/ｍ'
という関係が認められます。ここに（ウ）,（エ）を適用すると
　ａ：ｇ＝1/ｒ^2：1/Ｒ^2　（オ）
という簡単な関係を導けます。これより、月が地球の周りを公転する時の向心加速度ａは
　ａ=ｇ・(Ｒ^2/ｒ^2)　（カ）
と書けることになります。わかっている具体的な数値を当てはめてみると
　ａ＝9.8/60^2＝0.0027[m/(s^2)]
が得られます。ところで、月の公転周期ｔや地球－月間距離ｒを利用して月の向心加速度を求めてみると
　ａ＝ｒ・角速度^2＝ｒ・(2π/ｔ^2)＝4π^2・(ｒ/t^2)　（キ）
と書けるはずで、これに、わかっている数値を当てはめてみると
　ａ＝4・3.14^2・3.84・10^8/(27.3・24・3600)^2＝0.0027[m/(s^2)]
となり、先に求めた向心加速度とピッタリ一致することがわかります。
これは、月が地球から受ける力や、地球表面に有る物体に作用する重力の性質が、太陽－地球間に作用する力と似た性質の力であることを強く支持しています。

(3)さて、再び地球－太陽間の力に立ち戻って考えてみましょう。
地球が太陽からの引力Ｆsを受けているなら、運動の第３法則（作用反作用の法則）から、太陽もまた地球から引力Ｆeを受けていて、その大きさはＦsと同じだろうと推測できます。
地球が及ぼす引力Ｆeは（ウ）,（エ）の式から、力を受けている物体の質量に比例して、距離の２乗に反比例ルするはずなので
　Ｆe=Ｋe・Ｍs/Ｒs^2　 （コ）
と書けるはずです。しかも、
　Ｆs＝Ｆe
なのです。（イ）と（コ）を見較べると
　Ｋs＝Ｍs・Ｇ　，Ｋe＝Ｍ・Ｇ　となっていれば良いことがわかります。(Ｇは、Ｍ，Ｍsに関係しない定数として導入しました)。こうして
　Ｆ＝Ｇ・Ｍ・Ｍs/Ｒs^2　（サ）
と書き表される、万有引力の姿が浮かび上がってきたのでした。
なおＧは、実際に万有引力を受ける物体を観察することから求めるべき数値で、"万有引力の定数"と呼ばれているものです。

お礼

ありがとうございました！
分かりやすい解説感謝いたします、おかげで理解できました。