物理IIの万有引力のところの問題

質問

問題：質量mの物体が地上から十分に高い高さhから自由落下するとき、地上に衝突する直前の速さはいくらになるか。ただし、地球の半径をR、地上での重力加速度の大きさをgとする。また、大気の影響は無視せよ。

この問題の解き方がわかりません。
自分で考えたのは
力学的エネルギーの保存を用いて、運動エネルギーと万有引力による位置エネルギーの和が変化なし、という式をたててみたのですが、答えが回答とあいません。
考え方が間違っているのでしょうか？

本来の答えは√((2ghR)/(R+h))となっており、自分の出した答えは問題文に与えられていないGを使っていて、さらには二重根号まで出てきます(>_<)
どなたか、解き方を教えてください(;_;)/~~~

回答No.4

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

（私も理屈はよくわからないのですが不思議なことに）
地球の半径をＲとしたとき、
・地上での重力加速度
と、
・地球の質量が重心（地球の中心）の一点に全部集中していて、そこから距離Ｒのところの重力加速度
は、同じになります。

重力の式は、
Ｆ　＝　ｍａ　＝　ＧＭｍ／ｒ^2
（Ｍは地球の質量）
つまり
ａ　＝　ＧＭ／ｒ^2
なので、これに、ｒ＝Ｒ　のとき　ａ＝ｇ　という条件を代入すると
ｇ　＝　ＧＭ／Ｒ^2
となるので、
Ｇ　＝　ｇＲ^2／Ｍ　…★
です。

位置エネルギー（ポテンシャル）は、力Ｆを距離ｒで積分したものです。
Ｒ＋ｈ（地表からｈ）　から　Ｒ（地表）　に落ちるときの位置エネルギーの変化は、
∫[r=(R+h)⇒R] ＧＭｍ／ｒ^2・ｄｒ　＝　ＧＭｍ∫[r=(R+h)⇒R] ｄｒ／ｒ^2
　＝　ＧＭｍ｛－１／ｒ｝[r=(R+h)⇒R]
　＝　ＧＭｍ｛－１／Ｒ　＋　１／（Ｒ＋ｈ）｝
　＝　ＧＭｍ｛－（Ｒ＋ｈ）／（Ｒ（Ｒ＋ｈ））　＋　Ｒ／（Ｒ（Ｒ＋ｈ）｝
　＝　－Ｇ・Ｍｍ・ｈ／（Ｒ（Ｒ＋ｈ））
★を代入
　＝　－（ｇＲ^2／Ｍ）・Ｍｍ・ｈ／（Ｒ（Ｒ＋ｈ））
　＝　－ｍｇｈＲ／（Ｒ＋ｈ）
というわけで、ＧとＭが消えてくれました。

力学的エネルギーの保存により
位置エネルギーの変化　＋　運動エネルギーの変化　＝　０
－ｍｇｈＲ／（Ｒ＋ｈ）　＋　１／２・ｍｖ^2　＝　０
ｖ^2　＝　２ｇｈＲ／（Ｒ＋ｈ）
合いました。

お礼

細かい計算式まで教えていただきありがとうございました！

回答No.3

htms42

あなたの求めた式を書いて下さい。

エネルギー保存の式で出てきた式にはＧが含まれています。
この式からＧを消せばいいのです。

地表での重力の大きさがｍｇであるという関係から
ｇ＝ＧＭ／Ｒ^2
が得られます。
これを使うと
ｖ^2＝２ｇｈＲ／(Ｒ＋ｈ)
がでてきます。
（地表近くでの自由落下ではｈ＜＜ＲですからＲ/(Ｒ＋ｈ)～１となってｖ^2～２ｇｈです。）

教科書では第二宇宙速度の求め方が例題の形で出てきているはずです。
そこで使っていると思います。

お礼

スミマセン。
参考にさせていただきました。
ありがとうございました！

回答No.2

gohtraw

物体が地表にあるとき、つまり地球の中心と物体の中心の距離がＲであるときの重力加速度がｇで、万有引力は物体間の距離の二乗に反比例するので、地表からの高さｔにおける重力加速度はｇＲ＾２／（Ｒ＋ｔ)＾２となります。従って地表面にある物体を高さｈまで引き上げるのに必要な仕事は
ｍｇＲ＾２∫（１／（Ｒ＋ｔ）＾２）ｄｔ　（積分範囲は０からｈ）
です。これが地表まで落下してきたときの運動エネルギー　ｍｖ＾２／２　と等しくなるとおけばいいのではないでしょうか？

お礼

ヒントを頂いたので、もう一度解き直して、照らし合わせてみます(^o^)
ありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

見た感じ方針はあってるように思います. どう運算してどこで詰まったのでしょうか?

お礼

みなさんの解き方で納得できました！
ありがとうございました(>_<)