重力半径

質問

球対称な静的重力場についてです。

極座標を用いて、
x^0=ct,x^1=r,x^2=θ,x^3=φとします。(ここでの^は単なる上つきの添え字)

微小世界距離の２乗
ds^2=g_{00}(r)(dx^0)^2+g_{11}(r)(dr)^2+r^2{(dθ)^2+sin^2θ(dφ)^2}
とすると、
g_{00}(r)=-1+a/r
g_{11}(r)=1/(1-a/r)
a=2GM/c^2=κc^2M/4π　(重力半径)
G:万有引力定数
c:光速
M:物質の質量(例えば太陽)
κ:アインシュタインの重力定数

r->aのとき、g_{00}->0,g_{11}->∞
rがaを越えると、g_{00}とg_{11}の符号が逆転

というところまでは数学的にわかったのですが、このことからr<aから出た光がr>aへ出れないという物理的な結論が、どうやって導かれるんでしょうか。

回答No.3

shiara · ベストアンサー

光が半径方向のみに動く場合を考え、四次元長さdsの式で、dθ=0、dφ=0とおきます。また、光のdsが0であることから、
0=(-1+a/r)(dx0)^2+(dr)^2/(1-a/r)
となります。これからdr/dtを求めると、
dr/dt=±c(1-a/r)
となります。これは、中心からrの位置での光の速さを表します。この式で、r=aとすると、dr/dt=0となり、光の速さは0となります。つまり、r<aなる点から外へ光が出ようとすると、r=aで光の速さは0となることから、光は外に出てくることができないということです。
　ただし、この座標系では、r<aではｇ00とg11の符号が逆になるため、r<aでは、tを時間変数として扱うことができません。したがって、r<aで光の速さを考えても、物理的な意味を与えることはできないと考えられます。これは次のように考えられます。この座標系で見て静止している物体の固有時を求めると、dr=0、dθ=0、dφ=0、(ds)＾2=-(cdτ)^2より、
dτ=dt(1-a/r)^(1/2)
となります。これは、中心からrの位置に静止している物体での時間の経過dτと、この座標系での時間dtとの関係を与える式です。r=aではｄτ=0となり、時間が止まって見えることになります。これは、光の速さが0となることに対応しています。さて、問題は、tは誰にとっての時間変数であるか、ということですが、dτ=dtとなる条件を調べると、r=∞となります。つまり、無限遠方で静止している観測者から見た座標系であることになります。このような観測者にとって、r<aの領域は決して観測されない領域であり、そこでg00とg11の符号が逆転したとしても、計算上の値であって、物理的な意味はないと考えるのが適当と考えます。

お礼

ありがとうございます。やっとわかりました。
とくに３行目から５行目をみたとき、「あ、そうか」と思いました。ずっとds^2の式とにらめっこしていたのですが、それにはきづきませんでした。

回答No.4

mmky

追伸の参考程度に
schwarzchield solution
ds^2=g_{00}(r)(dx^0)^2-g_{11}(r)(dr)^2-r^2{(dθ)^2+sin^2θ(dφ)^2}
g_{00}=1+2Φ/c^2, Φ=-GM/r
は、#3のshiaraさんのご指摘の通り球体の外側でのみで有効な式ですね。球体の内側（r≦a)では、解釈として、光の速度の変化は無いものとすると光は普通に進んでいるのですけど外に出られないような閉空間を構成していると考えられますね。イメージとしては球体の中をぐるぐるまわっているというものでしょうか。この閉空間を作るのが古典的重力ポテンシャルエネルギーということですね。
古典的重力ポテンシャルエネルギーΦは、
Φ=G*M*∫(1/r^2)dr ということです。
引力、つまり重力加速度[m/s^2]を距離で積分したものです。これは速度の二乗の次元[m^2/s^2]を持ちますね。だから古典的には、光は引力エネルギー又は重力速度（＃２unickerさんのご指摘のように重力速度をv=√(2GM/r)と考えれば)に勝てなくなるという考え方ですね。空間が曲がって閉空間になるので光が出られなくなるというほうが正しい解釈とは思います。この場合は、dsを空間の曲率半径に関連したものと考えますね。

お礼

ありがとうございます。
本当は多様体やらリーマン幾何学やら、そこらへんの数学的なことを勉強するべきと思いますが、それはまだ先になりそうです。

回答No.2

unicker

v=(2GM/R)1/2
これは使えないでしょうか？

補足

すいません…v=(2GM/R)1/2
をどうやって導くのやら…
それに、その式だとvがrによらず一定になってしまって何かおかしいような…

回答No.1

mmky

参考程度に
Φ=-GM/r, g{00}=1+2Φ/c^2
Φは、重力ポテンシャル、重力ポテンシャルが速度の二乗の次元をもっているのですから、
|2Φ/c^2|＝１で重力の速度が光の速度に同じ
|2Φ/c^2|＞１で重力の速度が光の速度を越える
ということですから光は外へは出られませんね。
|2Φ/c^2|＜１のときのみ光は重力速度より早いので逃げられますね。

補足

Φ=-GM/r, g{00}=-(1+2Φ/c^2)

|2Φ/c^2|＝１<-->r=a
|2Φ/c^2|＞１<-->r<a
までは確認できましたが、

|2Φ/c^2|＝１で重力の速度が光の速度に同じ
|2Φ/c^2|＞１で重力の速度が光の速度を越える

がまだわからないです。すいません。
この式から、「重力の速度」というのは、どのようにして算出されるのでしょうか？