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無大気密度一様な理想液体の球形星
tgbの回答
- tgb
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大きな誤りを犯しましたが、その前にANo.#6の補足要求について： 密度一様な（＝ρ）球の内部の１点で受ける力（万有引力）は位置によらず一定の大きさで、方向は中心向きだと思います。： これはどういう意味でしょうか？ ==> 私の勘違いでした。質問者さんの言われるとおりです。ただ、これによってその後のANo.#6の内容の修正の必要性は出てきません。 とは言え、大きな誤りがあるので修正（と言うより撤回？）が必要です。 ANo.#6で、 「 単位質量あたりの力： Ｇ・ρ・（４πＲ^3／３）／ｒ^2 」 としました。これが半径Ｒ内の至る所で成立すると考えましたが、これは誤りのようです。 （これにより特異な状況が出てくることになります。） 正しくは Ｇ・ρ・Ｍｒ／ｒ^2 です。つまり、球殻の内側ではその内部の空洞の任意の位置で（中心でなくても）無重力状態になると言うことです。 この点についてはANo.#2さんが正しいと思います。ANo.#8(Ano.#2)さんが紹介してくださったＨＰにある静水圧平衡の方程式はまさにこのことを示していると思います。最初はAno.#2さんが示した式の意味が分からなかったのですが、ゆっくり考えてようやく分かりました。（のつもり） ANo.#8さんの 「２・ｐ／ｒなんていう補正項は出てこないようです。」 についてですが、これは参考ＨＰでは円錐ではなく円柱を考えて方程式を導いているからではないかと思います。自信を持った主張ではないですが、惑星や恒星などの大きな星を対象とする場合は問題ないと思いますが近似になっていると思います。新しい（訂正後の）力を考える場合はｒ＝０でもこの力自体が特異にならないし、中心付近での圧力値への寄与の度合いも小さいのでこの近似による誤差は小さいものかも知れません。 もう１つ誤りがあります。ANo.#6で、 「円錐台の側面からの圧力も存在しますが、これは対称性により相殺し円錐台の釣り合いに影響しないので考慮から除外することができます」 としましたが、円柱ではなく、円錐を考えるなら、側面の圧力の軸方向（ｒ方向）成分も考慮しないとちぐはぐだと思います。 少し気になってはいたのですが、ｄS（球の表面の微少円）を小さくすれば側面の圧力の軸方向成分はいくらでも小さくできて無視できると考えたのですが、 ｄS・ｄｒまたはｄS・ｄｐのオーダーより小さくなることを確認しなければ意味がないと気づきチェックしてみたら、 ｄS・ｄｒのオーダーでした。 と言うことでANo.#2を正解としてよいのではないかと思います。（とすれば上の２つ目の説明はゴミみたいなものですが）
- noname#108554
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補足
半径R中心Pの密度一様ρの球内において Pからr(<R)の位置の質量mの質点に働く球からの引力の大きさｆは f=G・m・(4/3・π・r^3・ρ)/r^2 となることは「クーロンの法則＆ガウスの定理」からでもまじめな積分からでも導くことができます。 この知識はこの質問の前提でした。 この事実を知らなかったからといってtgbさんのアイデアの価値を下げるものでは有りません。 つじつまを合わせるためにアインシュタインが宇宙方程式でやったような作為的な項の追加や削除をすることは先人の間違いを繰り返すことにつながります。 項を削除するためには説得力の有る論破が必要です。 前記の知識の元にtgb理論を振り返ってみましょう。 球Qの中心をPとし Qの半径をRとし Qの密度をρ（一様）とし Qの内部の圧力をpとする。 Qの表面に微小な面積Sの円Cを引く。 PからCを結んでできる三角錐と中心P半径x(<R)の球と中心P半径x+dxの球で囲まれた微小体積要素をWとする。 Wは動かないのだからニュートンの第2法則により Wに働く力の総和は０である。 (0)Wの側面に働く圧力による力 Sが十分小さいから 半径方向に0 半径方向と垂直な方向の合力は0 (1)WのPに近い面に働く圧力による力 半径方向外向きにf1=p・S・(x/R)^2 (2)WのPに近い面に働く圧力による力 半径方向内向きにf2=(p+dp)・S・((x+dx)/R)^2 (3)WがW以外の球から受ける引力は はじめに言ったことを思い出せば 半径方向内向きに f3=G・(S・(x/R)^2・dx・ρ)・(4/3・π・x^3・ρ)/x^2 なおこの式にはW自身の引力も引力に加算されているがその項はSとdxが十分小さいので無視できる。 すなわち f1-f2≒ R・S・(x/R)^2-(P・x^2+x^2・p+2・p・x・dx)・S/R^2= -(x^2・dp+2・p・x・dx)・S/R^2 f3=4/3・π・S・G・ρ^2・x^3・dx/R^2 力の釣り合いからf1-f2=f3とすると x^2・dp/dx+x・p=-4/3・π・G・ρ^2・x^3 すなわち d(x^2・p)/dx=-4/3・π・G・ρ^2・x^3 である。 この両辺をrからRまで積分して R^2・0-r^2・p(r)=-π/3・G・ρ^2・(R^4-r^4) すなわち p(r)=π/3・G・ρ^2・(R^4-r^4)/r^2 これはtgb理論を改良してより明快にしたNo.9補足の結果と同じです。 この理論を論破することは難しいのではないでしょうか？