数学の漸化式

質問

１.{a1}=0 {an;1}=(an+8)/(an+3)　　　　答え：｛４・（－５）＾n-1 -4}/{2・（－５）＾n-1 +1}

２.{a1}=2 √２{an+1}^5={an}^6 答え：{an}=2^【１/2{(6/5)^n-1 +1}

３.{a1}=4 {an+1}=4/(n+1)+1/{an} 答え：{an}=(n+1)^2/n^2

この３つの問題がわからなくて困ってます；
１つ目は特性方程式から｛an+１｝-α、{an+1}-β、【｛an+１｝-α】/【{an+1}-β】の計算をしたのですがうまく答えが出ませんでした；

２つ目は底を２とする対数をとったのですが、答えと合いませんでした。。

３つ目は、よくわかりませんでした；

この３つがわからなかったので、詳しい解説と計算の方をお願いします<(_ _)>＞＜
３つとも中途半端ですいません。。
問題が見にくかったらすいません。

回答No.3

momordica · ベストアンサー

１，２ともに基本方針はそれでいいと思うので、どこまでやってみて
どう詰まったのか書いてくれないと、何がまずかったのか分かりません。
解いて見せたものか迷ったんですが、正解自体はもうご存じのようですし。

１
　a[n+1]=(a[n]+8)/(a[n]+3)　…(A)
のa[n+1], a[n]を文字で置き換えた方程式
　x=(x+8)/(x+3)
を作り、これを解いて
　x=-4, 2
(A)の両辺からこれらの値をそれぞれ引いて
　a[n+1]+4=(a[n]+8)/(a[n]+3)+4
　　∴　a[n+1]+4=5(a[n]+4)/(a[n]+3)　…(B)
　a[n+1]-2=(a[n]+8)/(a[n]+3)-2
　　∴　a[n+1]-2=-(a[n]-2)/(a[n]+3)　…(C)
(B)を(C)で辺々割って
　(a[n+1]+4)/(a[n+1]-2)=-5(a[n]+4)/(a[n]-2)
ここで
　b[n]=(a[n]+4)/(a[n]-2)
とおくと
　b[1]=-2,　b[n+1]=-5b[n]
よって、{b[n]}は初項(-2)、公比(-5)の等比数列だから
　b[n]=-2*(-5)^(n-1)
　∴　(a[n]+4)/(a[n]-2)=-2*(-5)^(n-1)
これをa[n]について解いて
　a[n]={4*(-5)^(n-1)-4}/{2*(-5)^(n-1)+1}

多分、こんな感じの解き方しようとしたのでは?
この方法は効率がいい方法ですが、必ずしも一般的ではないので、答案では
途中計算や説明は丁寧に入れてくださいね。
「特性方程式より」とか書いてすっとばすと「はぁ？」という扱いをされかねません。

また、一通りの解き方を暗記してもこの問題をマスターしたことにはならないので、
＃1さん、＃2さんの挙げておられるような方法もやってみたほうがいいでしょう。

#1さんの方法は、等比数列に持ち込む手順が違うだけで、本質的には変わりません。
#1さんの言う「適切な α の値」というのは、質問者さんの求めた「特性方程式」
の解α、βそのものです。

#2さんの解き方の方はかなり方向性が違います。
　a[n]=p[n]/q[n]
とおくと、漸化式は
　p[n+1]/q[n+1]=(p[n]+8q[n])/(p[n]+3q[n])
となりますから、もし数列{p[n]}, {q[n]}が連立漸化式
　p[n+1]=p[n]+8q[n]
　q[n+1]=p[n]+3q[n]
をみたすなら、条件を満たしていることになります。
よって、この連立漸化式を解いてp[n], q[n]を求めれば、そこからa[n]が求められます。

２
　(√2)(a[n+1])^5=(a[n])^6
両辺の、2を底とする対数をとって
　1/2+5*log[2]{a[n+1]}=6log[2]{a[n]}
ここで
　b[n]=log[2]{a[n]}　
とおくと
　b[1]=1,　1/2+5b[n+1]=6b[n]　…(A)
（A)の両辺のb[n+1]とb[n]を文字で置き換えた方程式
　1/2+5x=6x　…(B)
を作り、(A)から(B)を辺々引いて
　5(b[n+1]-x)=6(b[n+1]-x)
(B)の解 x=1/2 を代入して
　5(b[n+1]-1/2)=6(b[n+1]-1/2)
c[n]=b[n]-1/2とおくと
　c[1]=1/2,　6c[n+1]=5c[n]
　∴　c[n+1]=(6/5)c[n]
よってc[n]は初項1/2、公比6/5の等比数列だから
　c[n]=(1/2)*(6/5)^(n-1)
　∴　b[n]-1/2=(1/2)*(6/5)^(n-1)
　∴　log[2]{a[n]}-1/2=(1/2)*(6/5)^(n-1)
これをa[n]について解いて
　a[n]=2^{(1/2)*(6/5)^(n-1)+1/2}

３については、私もあまりいい方法が思いつきません。
＃2さんがちょっとの工夫でできるというので、できるんでしょうけど…
とりあえず、最初の数項を計算してみれば
　a[1]=4,　a[2]=9/4,　a[3]=16/9,　a[4]=25/16, …
となりますから、
　a[n]=(n+1)^2/n^2
と言う一般項は容易に予想できますし、その予想が正しいことを帰納法で
証明するのも簡単です。
実際の試験などで出たら、その辺りが現実的な方法ではないかと思います。

お礼

どれも丁寧にありがとうございます
無事とけました
投稿の仕方には以後気をつけます
<(_ _)>

回答No.2

ringohatimitu

まず2は対数を使うということは正しいので後はちゃんと計算してみましょう。
1と3については全部書くと煩雑になるのでここでは方針を書きます。やり方さえ分かれば自分でやれるはずなので試してみてください。

a_nを分数の形p_n/q_nにおいてやりp_nとq_nの漸化式を求めます。２つの漸化式が求まるはずですがそれらを行列によって表します。すると1についてはその行列はnを含まない対角化可能なものになるので一般項はすぐに求まるでしょう。
一方3についてはそのままやると行列にnが含まれてしまいますがちょっと工夫すればいけるはずです。

回答No.1

Tacosan

突っ込み and/or 方針.
1: 「特性方程式」ってなんだよ....
このように分子分母ともに 1次であるような分数式で与えられている場合,
{bn} = 1/({an}-α)
とおいて {bn} に対して漸化式を立てるという作戦をとることががしばしばあります. もちろん「適切な α の値」を使わないとだめなんだけど, {bn} に対する漸化式が簡単になるようにうまく選んでやってください.

2: ルートはどこまで? さておき, 方針はそれであってる. どんな計算をしたのかわからんので「答えとあいませんでした」といわれても「計算し直せ」としか書けんが.

3: ん～, どうするんだろう. とりあえず最初の数項を計算してあたりをつけるかなぁ.