Snを含む漸化式について・・・・

質問

a(n+1)=Sn+n+1 a1=1 　

の解き方を教えてください。

式をSn=　の形に移項して、S(n+1)-Snを計算して
0=a(n+2)-2a(n+1)-1
となったところで行き詰まってしまいます。

特性方程式にして、0=x~2-2x　をとけばいいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

もうほとんど解けていますよ。

＞式をSn=　の形に移項して、S(n+1)-Snを計算して
＞ 0=a(n+2)-2a(n+1)-1

a(n+ 2)= 2* a(n+ 1)+ 1ですね。
これは、隣接2項間の関係式です。
ですので、特性方程式は α= 2α+ 1となります。

n+ 2が出てきていますが、あくまでも式は 2項の関係式です。
n+ 2→ n+ 1, n+ 1→ n（n→ n- 1の置き換え）とでもすればわかりやすいかと思います。

お礼

＞n+ 2が出てきていますが、あくまでも式は 2項の関係式です。

なるほど！
無事解けました、ありがとうございます。

回答No.2

info22

>0=a(n+2)-2a(n+1)-1
a(n+2)=2a(n+1)+1
a(n)=2a(n-1)+1
a(n)+1=2{a(n-1)+1}
と変形できます。
{a(n)+1}が公比2の等比数列になることが分かります。

a(n)+1
=(2^2){a(n-2)+1}
=(2^3){a(n-3)+1}
= ...
={2^(n-1)}{a(1)+1}
={2^(n-1)}{1+1}
=2^n
これ↑からa(n)が求まりますね。

お礼

n+2とn+1を変えてしまえばいいのですね、ありがとうございました。