分数型漸化式の一般項

質問

a_{n+1}=ra_n+s/pa_n+q
という形の漸化式で
a_1=4
a_{n+1}=5a_n+3/a_n+3

特性方程式を使うと
x=5x+3/x+3
x(x+3)=5x+3
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=3,-1
になって、これが重解になっていれば、何とかできるのですが・・・・

一般項を導き出す考え方がおかしいのでしょうか?
明日定期テストなので、早めに回答もらえると嬉しいです。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

漸化式の意味は、「ra_n+s」を「pa_n+q」で割るということですか。

これなら簡単です。

特性方程式の解を使って、
a(n+1)-3=2(an-3)/(an+3)
a(n+1)+1=6(an+1)/(an+3)

辺々割ると、
(a(n+1)-3)/(a(n+1)+1)=(1/3)(an-3)/(an+1)

よって、(an-3)/(an+1)は初項1/5、公比1/3の等比数列になる。
そして、anについて解けばよい。

計算合ってるかはご確認を。

特性方程式の解が重解になるときは、a(n+1)-αをanで表わして、
逆数をとると、1/(an-α)が等差数列になるように変形できる。

簡単なので、試験前の練習でも十分間に合う（？）

お礼

ご回答ありがとうございます。
教えてもらった手順でやってみたら、すぐ解けました!!
それと、表記の仕方が分かりにくくて、すみません

回答No.2

eatern27

>a_{n+1}=ra_n+s/pa_n+q
右辺はra_n+(s/pa_n)+qにも見えますよね。こういう風に誤解を招く可能性がある場合には、(ra_n+s)/(pa_n+q)のように括弧を使って書きましょう。

さて、一般論としては、特性方程式の解をα,β(α≠β)とした場合、
b_{n}=(a_{n}-α)/(a_{n}-β)
として、b_{n}に関する漸化式を書き下すと等比数列の漸化式になったんじゃなかったかなぁ。

少なくとも、ご質問の問題の場合には、この方法で上手くいくようです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
表記の仕方が分かりにくくてすみません。。

回答No.1

zk43

とりあえず、特性方程式の解が違う。