• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

極限の問題(?)だと思います・・・

「f ''(a)not=0ならば、f(a+h)=f(a)+hf '(a+θh)においてh→0のときθ→1/2となることを示せ。」という問題を解くにはどうやったらいいでしょうか?私は式を変形後、極限値の計算公式や微分係数の定義を使ってみたんですが、よくわかりません。ヒントでもいいのでよろしくおねがいします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数716
  • ありがとう数4

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
  • uyama33
  • ベストアンサー率30% (137/450)

もっと原始的な解き方です。 f(a+h)=f(a)+hf '(a+θh) この式を、h で微分します。 f '(a+h)=f '(a+θh)+  hθf ''(a+θh) 式を変形して f '(a+h)-f'(a)+f'(a)-f '(a+θh)=hθf ''(a+θh) この左辺は <{f '(a+h)-f '(a)}/h>*h-<{f '(a+θh)-f '(a)}/θh>*θh となります。 両辺をhで割ります。 <{f '(a+h)-f '(a)}/h>-<{f '(a+θh)-f '(a)}/θh>*θ = θf ''(a+θh) ここで、hを0近づけて f ''(a)-θf ''(a)=θf ''(a) 両辺を f ''(a)で割ると 1-θ = θ となるので、θ=0.5 ただし、f ''(x)が、点 a で連続である事を使いました

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

わかりやすい回答ありがとうございました。証明の途中の言葉の説明もわかりやすいです。またわからないことがあったら、よろしくお願いします。

関連するQ&A

  • 極限値?

    極限値と微分係数ってどう違うのですか。教科書には、違うみたいに書かれているのですが・・・

  • 微分について

    高校2年の者です。 今学校の授業で 微分についてやっています。 そこで分からないことが あります。 数学の先生に聞いても いまいち理解できません でした(^^; 極限値と微分係数は どこが違うんですか? この2つの違いが いまいちわかりません(>_<) 実際に問題を解いて みたんですが、 どちらを求める問題も 問題の式が似ていて (どちらもlimを使う問題) 余計分からなくなりました・・・ ある友人は同じだと 言うのですが、同じなら 名前をわける必要ない ではないですか? どなたか極限値と微分係数について教えてくださると嬉しいですm(__)m

  • 極限の問題です!

    極限の問題です(> <) L1:y=ax+e^(-a) L2:y=bx+e^(-b) の交点を求めて、 bを限りなくaに近づける ときにどんな点に近づくか というのを求める問題です。 交点はもとまったのですが 限りなく近づけるほうが できません。 解答のやり方では、 xを限りなくちかづけて yに代入するという方法ですが lim(b→a) { -e^(-b)+e^(-a) }/ b-a これが 微分係数の式の形をしてるから f ' (a)=e^(-a) となるらしいのですが bの関数として見てる気がして なんか納得いきません。 教えて下さい…! よろしくお願いします!! ちなみにこたえは (e^(-a) , (a+1)e^(-a))です。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

こんにちわ。この問題はテイラー展開を用いて答えを 導きます。 ---証明----------------------------------- まず、f(a+h)=f(a)+hf´(a+θh)のf´について、 再び平均値の定理を使うと、 f´(a+θh)=f´(a)+θhf"(a+θ´θh)となるような が存在する。これを最初の式に代入すると、 f(a+h)=f(a)+hf´(a)+θ(h^2)f"(a+θ´θh)…(ⅰ) 一方、2階までのテイラー展開は f(a+h)=f(a)+hf´(a)+(1/2)*(h^2)f"(a+θ"h)…(ⅱ) となるθ"(0<θ"<1)が存在する。 (ⅰ)と(ⅱ)を等しいとおくと、 θf"(a+θ´θh)=(1/2)*f"(a+θ"h) が成り立つ。f"(x)が連続だから、h→0とすると、 f"(a+θ'θh)→f"(a) f"(a+θ"h)→f"(a) となる。f"(a)≠0だから十分小さいhに対して、 f"(a+θ´θh)≠0 である。従って、 θ=(1/2)*{f"(a+θ"h)/f"(a+θ´θh)} →(1/2)*{f"(a)/f"(a)}=1/2(h→0) -----------------------------------q.e.d.---- ところで、証明の中でf(x)がC^2-級関数であることを 使ってしまいましたが大丈夫でしょうか? それでは、頑張って下さい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。not=がきちんと入力できてうらやましいです。C^n-級関数については聞いたことはありますが、実はまだよくわかっていません。この機会に改めて勉強し直そうと思います。またわからないことがあったら、よろしくお願いします。

  • 回答No.1
  • mmky
  • ベストアンサー率28% (681/2419)

「f ''(a)not=0ならば、f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh) においてh→0のときθ→1/2となることを示せ。」 という問題を解くにはどうやったらいいでしょうか? h=b-a と置けば、 f(b)=f(a)+(b-a)f'(a+θ(b-a)) {f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(a+θ(b-a)) 点a,bの間に点cを取ると、 (c-a)/(b-a)=θ c=a+(b-a)θ になるね。 {f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c) 平均値だから半分のところにc点は取るよね。 ということで、θ=1/2 だね。 「平均値の定理」というのを参考にするといいね。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

早い回答ありがとうございます。高校の時に数(3)まで勉強してなかったので、大学生になって「平均値の定理」なども聞くようになりました。改めて勉強してみます。またわからないことがあったら、よろしくお願いします。

関連するQ&A

  • 極限 証明

    極限 証明 lim[x→∞](1+(1/x))^x=eの証明はどのようにすれば良いでしょうか? [証明] (logx)'=1/x より,x=1における微分係数は1である。     したがって,微分係数の定義式から           lim[h→0](log(1+h)-log1)/h=1     左辺を変形して      lim[h→0](1/h)・(log(1+h))=lim[h→0]log(1+h)^(1/h)=1 また、      1/h=x すなわち h=1/x     とおくと,x→±∞のときh→0であるから      lim[x→∞](1+1/x)^x      =lim[x→-∞](1+1/x)^x  =lim[h→0](1+h)^1/h=e また、以下が理解できません・・・ lim[x→∞](1+1/x)^x=lim[x→-∞](1+1/x)^xはなぜ等しいのでしょうか? そして、lim[h→0](1+h)^1/h=eとしている理由がわかりません。なぜいきなりeが出てくる? logはどこにいったのでしょうか?

  • 数III 微分

    f(x)=√(x+1)のとき,g(x)=f(f(x))のx=0における微分係数を求めよ 全く分かりません(´`;) 微分係数だから極限値を使えばいいのでしょうか? 誰か分かる方教えてください(..)m

  • 微分 可能 について 

    微分係数の定義は、 (1)f´(a)=lim[h→0](f(a+h)-f(a))/h これを変形すると、 lim[h→0](f(a+h)-f(a))=lim[h→0]h・f´(a) よって、lim[h→0]f(a+h)=f(a)となります。 x=a+hとすれば、 (2)lim[x→a]f(x)=f(a) となります。 lim[x→a]f(x)=f(a)はf(x)にaを代入している事と同じになると 思います。 ここで、問題です。 f(x)=|x|のx=0について微分可能で無い事を示す場合、 (1)式で解くと、 右極限 lim[h→+0](|0+h|-|0|)/h=lim[h→+0]|h|/h=1 左極限 lim[h→-0](|0+h|-|0|)/h h=-tと置くと、t→+0となる。 lim[t→+0](|0-t|-|0|)/-t=lim[t→+0]|t|/-t=-1 となり、lim[h→+0](|0+h|-|0|)/h≠lim[h→-0](|0+h|-|0|)/h なのでf(x)=|x|はx=0について微分可能でない。 (2)式で解くと、 右極限 lim[x→+0]|x|=0 左極限 lim[x→-0]|x|=0 x=-tと置くと、t→+0となる。 lim[t→+0]|-t|=0 よって、lim[x→+0]|x|=lim[x→-0]|x|となり微分可能であると成ってしまいます。 (1)式=(2)式なのに、解が異なってしまうのは何故でしょうか?

  • 微分係数と導関数(数学II)

    お世話になっております。数学IIの微積の入り始めからの質問です。 どうも、極限値から微分係数を定義するあたりから、掴み損ねているのですが、まず、微分係数を図形的に捉えて、これを任意の曲線上の点上の接線の傾きを表すこと。 導関数について、これを定義通りに公式から導く。次いで導関数f'(x)のxに色々な値aを代入すると、元の関数y=f(x)のxが限り無くaに近付く時の平均変化率つまり微分係数になる。など色々説明されていますが、始めグラフで説明されていたのが、極限値あたりから途端に言葉だけの説明になり、当初平均の速さと瞬間の速さをうまく関数に対応させていた考えが、途中で途絶えてしまった感があります。そこで、単純な導関数から微分係数を求める問題をグラフから捉えてみようと図に落としてみました。 例題 関数f(x)=x^2-4xのx=0,3における微分係数を求めろ。 解 f'(x)=2x-4 が与式の導関数であるから(ここは機械的に計算しました)、 f'(0)=-4 f'(3)=2 微分係数は接線の傾きであること、接線の定義上放物線と交わるような直線とはならないし、また、微分係数はxが限り無く0または3に近付くときの平均変化率の値であることを考えると何となくですが、添付画像のようになりました。何でも良いのでアドバイスいただけると嬉しいです。 宜しくお願いします。

  • 微分の極限値(注:初心者)

    高校数学の本で微分の極限値の説明で、 lim(x→1) x^2 - 1/x-1=(x+1)(x-1)/x-1=lim(x→1) x+1=2 という式が書いてるのですが、これは結局 f(x)=x+1 という1次関数のlim(x→1)の場合のf(x)の極限値の事ですが、なぜ最初わざわざ分数で表して約分でx+1に変形してからxに1を代入するような説明なんでしょうか?最初の分数の状態でxに1を代入すれば分母も分子も0になり、そこで式が終わってしまうという事が言いたいだけなんでしょうか?なぜこういう説明があるのかが理解できません。微分係数のf'(x)=f(x+h)-f(x)/h の式でhにいきなり0を代入したらそこで式が終わってしまうという事を説明するためなのでしょうか?この文の必要性がいまいち分かりません。わかりにくい質問かもしれませんが引っかかるので、質問の真意がわかる人お願いします。ようするに、なぜ最初 x^2 - 1/x-1=(x+1)(x-1)/x-1 という分数で表してその後約分で x+1 の形に持ってくるような書き方なのかが知りたいんです。

  • 極限値

    limx/(3^x) (x->∞) の値は0 これを示せ。 ロピタルの定理は使わないとすれば、どういう変形をすれば、極限値0にもっていけるか。変形のヒントでいいですので、教えてください。

  • 極限値

    極限値を求める問題なんですが (n+1)^2+(n+2)^2+…+(2n)^2 という式を変形すると Σ[k=1,2n]k^2 - Σ[k=1,n]k^2 となると解答に書いてあるのですがどうしてこうなるのかわかりません 教えてください

  • 極限値を求める問題

    極限値の問題です。ロピタルの定理を使うというのですが、ロピタルの定理を使うところまで式を変形できません。わかる方いましたら、式を変形してください。よろしくお願いします。 lim[x→0]((a^x+b^x)/2)^(1/x)

  • 数学の質問

    いくつかありますが、お願いします。 1 Σ(k=1→∞)*1/nは発散するということを示すにはどうすればいいでしょうか。それと、感覚的に理解するのは無理でしょうか。区分旧蹟法で見ると収束するように思えます。 2 limの微分の定義式にh→0のものとx→aの2種類が教科書などに載っていましたが、どうやって変形しているんでしょうか。h=~~とかおいているのだと思いますがよくわかりません。 3 大学受験でマクローリンを使うのは反則でしょうか。 ただし、cosx=1-x^2/2!などはx-2についてとき、極限を使って強引に証明をします。ようはいきなりこの式を思いつくこと自体が不自然だと判断され減点されるかどうかです。 4 sinx/x→1という公式がありますが、これを問題文中で使うとき括弧書きで、これはx=0付近での微分係数が一致することを意味する、などという余計なことを書くと採点者はどう思うでしょうか。 5 {f(a+3x)}'=f'(a+3x)*3となるのは、合成関数の微分を使っているのはわかりますが。いまいちシック着ません・・・ 以上をよろしくお願いします。

  • 極限値をあらわす

    f(x)が微分可能なとき次の極限値をf(a),f ’(a)であらわす問題で 1、lim f(a+2h)-f(a) / h   h→∞ 2、lim x^2・f(a)-a^2・f(x) / x-a    x→a の解き方を教えてください A 1、2f ’(a) 2、2a・f(a)-a^2・f ’(a)

専門家に質問してみよう