極限の問題

質問

次の極限の問題をといてください。
aで場合分けしてeの式に持ってくのかなーと考えたんですがうまく変形できません

問
a>0とする
｛(n^a)+(a^n)｝^1/n　のn→∞のときの極限を求めよ

回答No.1

nnggcc6543 · ベストアンサー

１．y=x^(a/x)として、x→∞を考える。
　log y=(a/x)log x=alog x/x

　となるので、ロピタルの定理から
log y=(alog x)'/(x)'=a/x→0

ゆえに、y=x^(a/x)→1.....(a)

２．与式をAnとする。
An≧｛(a^n)｝^1/n=a
An≧｛(n^a)｝^1/n=n^(a/n)→1 ((a)から)

　つまり、An≧max{a,1}......(b)

(1) a≦1のとき
　(a^n)→0または1, n^a→∞なので(a)からAn≧1.
An≦｛2(n^a)｝^1/n=(2^(1/n))(n^(a/n))→1・1=1

　ゆえに、(b)から　An→1

(2) a>1のとき
　An≦max{ {2(n^a)}^(1/n), {2(a^n)}^(1/n) }
まず、 2(n^a)}^(1/n)の極限は上で見たように１．

　つぎに、{2(a^n)}^(1/n)=2^(1/n)・a→a
このうち、大きい極限はaだから、 An≦a となる。

　(b)と合わせて、An→a

　(3) 結局
　　An→1 (a≦1)
　　An→a (a>1)

お礼

なるほど...
思ったより難しい問題でした。
回答有難うございました！