極限の問題の解き方と方針

質問

極限をここ最近、習ったんですがいまいち無限等比数列の場合分け系の問題の解き方の基本方針が定まりません
例えば、以下の問題です。

問題　一般項が次の式で表わされる数列の極限を求めよ。

r^n/2+r^n+1 (r>-1)

-1<r<1のときとr=1のときとｒ>1で場合分けしてました。

問題　一般項が次の式で表されるとき数列の極限を求めよ。

r^n+1-3^n+1/r^n+3^n-1(rを正の定数とする）

r=3,r>3のときで場合分けしてました。

下の問題の解説ではｒと3の大小で強い項が変わるから、このように場合分けするらしいです。
しかし、そんなことをいったら上の問題だってr=1とr>1のときで場合分けすればいいのでは？
強い項とか表現が曖昧すぎて理解できません。
誰かこの手の問題を解く基本姿勢と上と下の問題がどういう点で違うから場合分けの基準が違うのか教えてください。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
括弧がないので、式が見づらいのですが・・・ ＾＾；

最初の問題は、
a(n)＝ r^(n/2)+ r^n+ 1　（r＞ -1）

であって、2番目の問題は
b(n)＝ { r^(n+1)- 3^(n+1) }/{ r^n+ 3^(n-1) }　（r＞ 0）

で合っていますか？

・数列：a(n)については、-1＜ r＜ 1、r＝ 1、1＜ rで場合分けになりますよね。

・b(n)についてですが、まずは分母・分子をそれぞれくくり出すと
(分母)＝ 3^n* { (r/3)^n+ 1/3 }
(分子)＝ 3^(n+1)* { (r/3)^(n+1)- 1 }

となり、結果 b(n)は
b(n)＝ 3* { (r/3)^(n+1)- 1 }/{ (r/3)^n+ 1/3 }

となります。
r/3を一つの公比と見れば、0＜ r/3＜ 1、r/3＝ 1、1＜ r/3で場合分けになります。
（質問中では 2つの場合分けしか書かれていませんが・・・）

1＜ r/3のときは、
分母を (r/3)^(n+1)で、分子を (r/3)^nでくくり出すことで極限値が求められます。

「強い項」というのは、たとえば r＝ 5とすると分子は 5^(n+1)- 3^(n+1)となります。
nが非常に大きくなると、
5^(n+1)- 3^(n+1)＝ 5^(n+1)* { 1- (3/5)^(n+1) }

より、ほとんど 5^(n+1)に等しくなります。
つまり、5^(n+1)が強い項、3^(n+1)が弱い項ということになります。

漸近線を考えるときにも、「強い・弱い」が出てきます。
y＝ x+ 1/xで x→∞とすると、1/xはほとんどゼロになってしまい、xだけが値に寄与するようになります。
つまり、xが強い項、1/xが弱い項となります。
（「xが値に寄与するようになる」という言い回しをすることもあります）

慣れるまでは、まずは上のように変形をして考えていく方がいいと思います。

回答No.2

puusannya

上の問題の場合分けはこれで正しいですね。
－１＜ｒ＜１のときはｒ＾（ｎ/2)もｒ＾ｎも極限値は０なので、極限値１
ｒ＝１のときは極限値３
ｒ＞１のときは発散し極限値なし。

下の問題は場合分けが違っていませんか。
０＜ｒ＜３、ｒ＝３、３＜ｒと分けるべきではないでしょうか。

０＜ｒ＜３のとき、与式の分母子を３＾（ｎ＋１）で割ると
（(r/3)^(n+1)-1）/（(r/3)^n×(1/3)+(1/3)）/(1/3)
となり、０＜(r/3)＜１　だから　極限値はー９

ｒ＝３のと極限値は０

３＜ｒのときは、与式の分母子をｒ＾ｎで割るか、ｒ＾(ｎ＋１)で割って、極限値ｒ　が出ますね。
どうなのでしょう。

基本的には上の問題の場合分けも下の問題の倍分けも同じように考えるべきではないでしょうか。

ｒと３の大小で、ｒ/3　と　3/r　を使う極限値が０になる方が入れ替わりますから、
極限値が求まるほうを強い、発散するほうを弱いといっているのだと思いますが。