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公式より導関数を求める

lim h→0　f(a+h)-f(a)/h の公式より導関数を求めたいと思いますが　計算手順がわからないので、教えてください。宜しくお願いします。　普通に微分したほうが早いのですけど、式を定義にして解こうとすると分かりません。宜しくお願いします。 【問題】 y=1/ x^2 の導関数を求めよ。　

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.2
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

普通に、f(x) = 1/x^2 のとき、 {f(a+h)-f(a)}/h = {1/(a+h)^2 - 1/a^2}/h = {a^2 - (a+h)^2}/{h (a+h)^2 a^2} = -(2ah + h^2)/{h (a+h)^2 a^2} = -(2a + h)/{(a+h)^2 a^2} ですが、これって h→0 のとき → -(2a + 0)/{(a+0)^2 a^2} = -2a/a^4 = -2/a^3 じゃないですか？ 「普通に微分したほうが早い」というのが 公式 (d/dx) x^c = c x^(c-1) のことを言っているのなら、 その公式は、上記のようにして導くんですよ。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。大変。感謝します。公式 (d/dx) x^c = c x^(c-1) も原点は、この公式だったのですね。助けてくれたおかげで、なんとか解くことができました。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

>y=1/ x^2 の導関数を求めよ。 y=f(x)とおくと y'=lim h→0　f(x+h)-f(x)/h =lim h→0 {1/(x+h)^2 -1/x^2}/h =lim h→0　{x^2-(x+h)^2}/h*{1/(x^2(x+h)^2)} =lim h→0　-(2hx+h^2)/h*{1/(x^2(x+h)^2)} =lim h→0　-(2x+h)/(x^2(x+h)^2) =-(2x+0)/(x^2(x+0)^2) =-2x/x^4 =-2/x^3 (比較) y'=(1/x^2)'=(x^(-2))'=-2x^(-3)=-2/x^3

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質問者からのお礼

ありがとうございます。とても深く感謝します。自分の弱点がよくわかりました。

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

どこまでできて, どこで困っているんですか?

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質問者からのお礼

ありがとうございます。分数の分子の所に分数がきたときの計算がわかりませんでした。しかし、解決しました。

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