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公式より導関数を求める
lim h→0 f(a+h)-f(a)/h の公式より導関数を求めたいと思いますが 計算手順がわからないので、教えてください。宜しくお願いします。 普通に微分したほうが早いのですけど、式を定義にして解こうとすると分かりません。宜しくお願いします。 【問題】 y=1/ x^2 の導関数を求めよ。
- Manami1980
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- alice_44
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普通に、f(x) = 1/x^2 のとき、 {f(a+h)-f(a)}/h = {1/(a+h)^2 - 1/a^2}/h = {a^2 - (a+h)^2}/{h (a+h)^2 a^2} = -(2ah + h^2)/{h (a+h)^2 a^2} = -(2a + h)/{(a+h)^2 a^2} ですが、これって h→0 のとき → -(2a + 0)/{(a+0)^2 a^2} = -2a/a^4 = -2/a^3 じゃないですか? 「普通に微分したほうが早い」というのが 公式 (d/dx) x^c = c x^(c-1) のことを言っているのなら、 その公式は、上記のようにして導くんですよ。
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- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>y=1/ x^2 の導関数を求めよ。 y=f(x)とおくと y'=lim h→0 f(x+h)-f(x)/h =lim h→0 {1/(x+h)^2 -1/x^2}/h =lim h→0 {x^2-(x+h)^2}/h*{1/(x^2(x+h)^2)} =lim h→0 -(2hx+h^2)/h*{1/(x^2(x+h)^2)} =lim h→0 -(2x+h)/(x^2(x+h)^2) =-(2x+0)/(x^2(x+0)^2) =-2x/x^4 =-2/x^3 (比較) y'=(1/x^2)'=(x^(-2))'=-2x^(-3)=-2/x^3
質問者からのお礼
ありがとうございます。とても深く感謝します。自分の弱点がよくわかりました。
- 回答No.1
- Tacosan
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どこまでできて, どこで困っているんですか?
質問者からのお礼
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質問者からのお礼
ありがとうございます。大変。感謝します。公式 (d/dx) x^c = c x^(c-1) も原点は、この公式だったのですね。助けてくれたおかげで、なんとか解くことができました。