公式より導関数を求める

質問

lim h→0　f(a+h)-f(a)/h の公式より導関数を求めたいと思いますが　計算手順がわからないので、教えてください。宜しくお願いします。　普通に微分したほうが早いのですけど、式を定義にして解こうとすると分かりません。宜しくお願いします。

【問題】

y=1/ x^2 の導関数を求めよ。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

普通に、f(x) = 1/x^2 のとき、
{f(a+h)-f(a)}/h = {1/(a+h)^2 - 1/a^2}/h
= {a^2 - (a+h)^2}/{h (a+h)^2 a^2}
= -(2ah + h^2)/{h (a+h)^2 a^2}
= -(2a + h)/{(a+h)^2 a^2}
ですが、これって h→0 のとき
→ -(2a + 0)/{(a+0)^2 a^2}
= -2a/a^4
= -2/a^3
じゃないですか？

「普通に微分したほうが早い」というのが
公式 (d/dx) x^c = c x^(c-1) のことを言っているのなら、
その公式は、上記のようにして導くんですよ。

お礼

ありがとうございます。大変。感謝します。公式 (d/dx) x^c = c x^(c-1) も原点は、この公式だったのですね。助けてくれたおかげで、なんとか解くことができました。

回答No.3

info22_

>y=1/ x^2 の導関数を求めよ。
y=f(x)とおくと
y'=lim h→0　f(x+h)-f(x)/h
=lim h→0 {1/(x+h)^2 -1/x^2}/h
=lim h→0　{x^2-(x+h)^2}/h*{1/(x^2(x+h)^2)}
=lim h→0　-(2hx+h^2)/h*{1/(x^2(x+h)^2)}
=lim h→0　-(2x+h)/(x^2(x+h)^2)
=-(2x+0)/(x^2(x+0)^2)
=-2x/x^4
=-2/x^3

(比較)
y'=(1/x^2)'=(x^(-2))'=-2x^(-3)=-2/x^3

お礼

ありがとうございます。とても深く感謝します。自分の弱点がよくわかりました。

回答No.1

Tacosan

どこまでできて, どこで困っているんですか?

お礼

ありがとうございます。分数の分子の所に分数がきたときの計算がわかりませんでした。しかし、解決しました。