さっき考えついた…公式？について

質問

微分の定義
df(x)/dx=lim_h→0_{f(x+h)-f(x)}/h
と、ロピタルの定理
lim_h→0_v(h)/u(h)=lim_h→0_v'(h)/u'(h)
を用いて、

∂f(x)/∂x=lim_h→0_∂f(x+h)/∂h

となる。

こういう式が実際に成り立つのか？
また、実際に何の役に立つのかを議論していただきたいです。

個人的には、成り立つけど役に立たないと思っています。

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

議論て… これは、「質問」なのかね？

前の回答に書いたように、
件の式を「右辺は収束して、その値は左辺」と
読んだら偽でしかない。
ロビタルの定理の条件を考えれば、
あれは「右辺が収束する場合には、その値は左辺」
と読むべきで、そう読めば真な命題となる。

で、そう読んだとき、定理の意味はどうなるか
というと、
ある関数の導関数であるような関数 f'(t) は、
t→x で収束すれば t=x で連続である
ということになる。
g(t)=0 when t≠0,
g(0)=1 のような、
一点だけピョコンと飛び出した不連続点は
導関数には無い(不連続であってもよいが)
ということ。

それが何の役に立つかといえば
特に何も思いつかないが、
何かの役には立つんじゃないの？

お礼

度々ご回答ありがとうございます。

私の中では、No.2にあるような回答を待っておりまして、その先の議論ははっきり言ってあまり意味の無いモノになっています。

先ほど、
lim u→x ∂f(u)/∂u=∂f(x)/∂x
となることから、式の導出云々はあまり意味のないことだとつくづく思いました。
元々式が成り立っていることはある程度確信を持っていましたし、式の意味はalice_44様の回答のような導関数の連続性で結論付けてよいのかなと思います。

回答No.6

NemurinekoNya

じつは、あなたのおっしゃることは、最初から全部分かっています。
でも、ロピタルの定理を使う段階で、微分をしているのか、偏微分をしているのか、
もうぐちゃぐちゃになっていますよね。
さらに言えば、二重極限の極限の極限のとりかたの順序を変えてしまっていますよね。
lim k→0 lim h→0 なのに、lim h→0 lim k→0に変えてしまっていますよね。
これって、かってに変えてしまっていいの？
変えても値が変わらないことを証明したのだろうか？
「h = kなので....」
これは、きわめて怪しい議論だと思うよ、僕。

お礼

？
ロピタルの定理をきちんと分かっていますか？

lim x→0 f(x)/x (lim x→0 f(x)=0)
の場合を考えれば、同じ議論だと思うのですが…
例えばf(x)=sin(x)を考えれば、良く例題として出てくる
lim x→0 sin(x)/x=lim x→0 d{sin(x)}/dx=1
となります。

じゃあ、ここから議論してみてください。

回答No.5

NemurinekoNya

No.4です。

先に送った文中で「No.2です」と誤って記述しました。訂正をよろしくお願いします。
訂正は以下の通り。

【訂正】
No.2（誤)→No.3（正）
です。

＃No.2の
alice先生、申し訳ありません。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.4

NemurinekoNya

No.２です。

f(x) = g(x,h)であるとするならば
∂f(x+h)/∂x ＝(?) lim h→0 (g(x+h,h) - g(x,h)/h)
でしょう。
偏微分だから、左辺ではhは固定されているはずなのに、右辺では動いている。
いいのであろうか？

というよりも、本来、
∂f(x+h)/∂x = lim k→0 {(g(x+h+k,h)-g(x+h,h))/k}
ではあるまいか....
ここで、あえて
k=hとおけば、
∂f(x+h)/∂x = lim h→0 {(g(x+2h,h)-g(x+h,h))/h｝
いちおう、いいのか。
でも、これでは、k=hでは偏微分から微分にすり変わっている...？？？？
「おろろ....」

たぶん、この質問の意味を、僕が読み違えているに違いない。
きっとそうだ。

お礼

混乱してますね(^^;)

>微分の定義
>df(x)/dx=lim_h→0_{f(x+h)-f(x)}/h

この時点で、hは右辺で極限をとっているので左辺はxのみの関数となります。

>ロピタルの定理
>lim_h→0_v(h)/u(h)=lim_h→0_v'(h)/u'(h)

さらに、右辺の変数hに対してロピタルの定理を適用し、偏微分を施しています。

回答No.3

NemurinekoNya

一変数だから、
∂f(x)/∂x　＝ df(x)/dx
になるのでは？
それとも、x＝φ(x,h)などの、なにか特別の意味でも....

まぁ、それはそれとして、
＃No1.さんへのあなたのお礼を参考にします。
f(x+h)-f(x)をhで偏微分するらしいですけれども、
∂(f(x+h)-f(x))/∂h
はどうやって計算したのであろうか？
∂(f(x+h)-f(x))/∂h = ∂f(x+h)/∂h
これ、本当に言える？
あなたは、∂f(x)/∂x　≠ df(x)/dxという立場なんだよぉ～。
見えないだけで、xはhを含んでいるかもしれないんだよぉ～。
安易なんじゃない？
ちゃんと詰めた？

お礼

ご回答ありがとうございます。

x+h=uと置き、xを固定した状態でhを独立に変化させた場合、dh=du。
したがって、
∂(f(x+h)-f(x))/∂h=∂(f(u)-f(x))/∂u
このとき、f(x)はuの変数ではなくなるため、
∂(f(u)-f(x))/∂u=∂f(u)/∂u
となります。(もともと、lim_h→0_が前についているので、右辺で変化させるのはhのみです。)

写像f:x→y0∈Rを仮定すれば、x,u∈Rであるため、x+h→y1∈Rがいえます。
つまり、同じ像空間に写像することになります。あくまで、写像される要素はxもしくはuです。

書き方にもよりますが、両方ともf(x,h)と書くのが正解かもしれません。
しかし、左辺はhを含まない、写像の形はあくまでf(x)であるため、質問文のような表記としました。

詰まるところ、f(x)とf(u)は全く同じ意味、形で使われ、u=x+hというように分解しただけです。
右辺と左辺で変数が２つあるように見えますが、No.2さんの回答にもありますように、
lim_h→0_を優先させれば、あるxの点での導関数の連続性を示したと言うことになります(掲示した式が成り立てば)。

これ以外にどこか使い道ってないのでしょうか？

回答No.2

alice_44

ダウト。
任意の導関数は連続だと証明したことになる。

お礼

なるほど！

ご回答ありがとうございます。

連続性の条件として、f(x-h)-f(x)→0となることを仮定しているので、これが発散する場合は不連続だと言えるのですね。

これ以外に、この式の使い道ってありますか？

回答No.1

spring135

∂f(x)/∂x=lim_h→0_∂f(x+h)/∂h

要するにどう計算するのですか

お礼

lim_h→0_{f(x+h)-f(x)}/h
がhを0に近づけると0/0型となるため、hで偏微分しました。