極限 証明

質問

極限　証明

lim[x→∞]（1+（1/x））＾x＝eの証明はどのようにすれば良いでしょうか？

[証明]　(logx)'=1/x より，x=1における微分係数は1である。
　　　　したがって，微分係数の定義式から

　　　　　lim[h→0]（log(1+h)-log1）/h=1
　　　　左辺を変形して
　　　　　lim[h→0]（1/h）・（log(1+h)）=lim[h→0]log(1+h)^（1/h）=1
また、
　　　　　1/h=x すなわち　h=1/x
　　　　とおくと，x→±∞のときh→0であるから
　　　　　lim[x→∞](1+1/x)^x
　　　　　=lim[x→-∞](1+1/x)^x
　=lim[h→0](1+h)^1/h=e

また、以下が理解できません・・・
lim[x→∞](1+1/x)^x=lim[x→-∞](1+1/x)^xはなぜ等しいのでしょうか？
そして、lim[h→0](1+h)^1/h=eとしている理由がわかりません。なぜいきなりeが出てくる？
logはどこにいったのでしょうか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

質問文中の解答例は、
log を log x = ∫[t=1→x] dt/t で、
exp を y = exp x ⇔ x = log y で、
e を exp(1) で 定義しているのです。
そのような定義の下では、正しい証明です。

この問題のような基礎的事項の証明は、
関連する用語の定義をどのようにしておくか
しだいで大きく変わってきます。

極端な話、e の定義が e = lim[x→∞] (1+(1/x))^x
であれば、証明は「定義より自明」でオワリ。
冗談抜きで、lim[n→∞] (1+(1/n))^n が e の定義
という教科書は少なくありません。

No.1 さんが言っているのは、そういう話です。

補足

ご回答ありがとうございます。
指数関数の定義や1/xの積分の定義や無限級数の和の定義などなどあると思うのですが、
なかなか理解できずにいたので質問させて頂きました。
確かに定義と言われればそれまでなのですが・・・

分からない点は、
・lim[h→0]log(1+h)^（1/h）=1は理解できます。
ここから、1/h=x すなわち　h=1/xとおいて、
lim[x→∞](1+1/x)^x=lim[x→-∞](1+1/x)^xとなる理由を知りたいです。logはどうやって消えた？
そして、lim[h→0](1+h)^1/h=eとしている理由がわかりません。

回答No.6

hugen

[補足]
lim[h→0](1+h)^(1/h)=e　
つまり　lim[h→±0](1+h)^(1/h)=e　なら　lim[h→-0](1+h)^(1/h)=e

お礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。
ありがとうございました。

回答No.5

B-juggler

こんばんは　横から失礼。

ちょっと難しく考えすぎかな？

＞lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h)はなぜ成り立つのでしょうか？

ですけれど、　

「＋のほうから０に近づける」　ことと　「－の方から０に近づける」

ことを、このときは同じにして大丈夫ですね。

(1+h)^(1/h)　に　０　を入れると、　１の無限大乗になりますね。
プラスもマイナスも関係ないですよね。

　＃１の（マイナス無限大乗）＝１／１（無限大乗）＝１　ですからね

難しくやりすぎないことですよ＾＾；

お礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。
ありがとうございました。

回答No.4

hugen

log(1+h)^（1/h）=t　とおくと　(1+h)^(1/h)=e^t　→　e^1=e
また
lim[x→∞](1+1/x)^x＝lim[h→+0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h)
lim[x→-∞](1+1/x)^x＝lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h)

お礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。
ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。
lim[x→-∞](1+1/x)^x＝lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h)　
について、lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h)はなぜ成り立つのでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.3

alice_44

＞ e を exp(1) で 定義しているのです。

と書いたでしょう？

lim[h→0] (1+h)^(1/h)
= lim[h→0] exp( log( (1+h)^(1/h) ) )　　; exp の定義より
= exp( lim[h→0] log( (1+h)^(1/h) ) )　　; exp の連続性より
= exp( 1 )　　　　　　　　　　　　　　　 ; 質問文中の結果より

補足

ご回答ありがとうございます。
lim[x→∞]log（1+（1/x））＾x=1として、
lim[x→∞]（1+（1/x））＾x＝e^1=e
ということで理解しました。

回答No.1

koko_u_u

e の定義を補足にどうぞ