極限の問題で行き詰まりました

質問

lim h->0　(e^h-1)/h=1・・・・※
のとき
lim x->0 (e^{x^2}-1)/x　
を求めよ
という問題で
ロピタルの定理を用いて答えが０ということは分かったのですが
※を使うやり方で行き詰ってしまいました
行き詰るまでの工程を以下に記します
*************************************
e^h-1=tとおくと
h->0のときt->0
e^h=t+1
h=log(t+1)
lim t->0 t/(log(t+1))=1
e^{x^2}-1=sとおくと
e^{x^2}=s+1
x->0のときs->0で
x^2=log(s+1)
このあとが続きません

勝手に微分して
2x=1/(s+1)
x=1/2(s+1)
これを代入して
lim s->0 s*(2s(s+1))/1=0
*****************************************
と求めてよいものなのでしょうか？
それとも元の式をどうにか変形して
x^2のまま求めることができるのでしょうか？
色々調べたのですが
類似の問題が見つかりませんでした

どなたか教えてください
よろしくお願いいたします

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> lim h->0　(e^h-1)/h=1・・・・※>

この式で重要なのは、
『左辺の「eの指数」と「分母」が同じもの』
という点です。

> lim x->0 (e^{x^2}-1)/x

分子・分母をxで通分し、

(e^{x^2}-1)/x
= (xe^{x^2}-1)/(x^2)

とします。
分子のxを分数の外に出して

(xe^{x^2}-1)/(x^2)
= x{ (e^{x^2}-1)/(x^2) }

こうすれば『「eの指数」と「分母」が同じもの』になりませんか？

お礼

単純に式を変形すればよかっただけなのですね
まったく頭が固くなってました
文字を勝手にかけたり割ったりしてはいけない
と思い込んでました・・・
回答ありがとうございました

回答No.3

info22

単純に
lim [x->0] (e^{x^2}-1)/x
=lim [x->0] {(e^{x^2}-1)/x^2}*x　
=lim [x->0] {(e^{x^2}-1)/x^2}*{lim [x->0] x} …(●)
=1*{lim [x->0] x} …(▲)
=0

(●)から(▲)に移るところで※を使っています。
lim [x->0] {(e^{x^2}-1)/x^2}
=lim [h->0] {(e^h-1)/h} ← x^2=hとおくと[x->0] のとき[h->0]
=1 ←　※を使う

お礼

※の変形は必要ないですよね・・・
数学好きだったはずなのにこんなに分からなくなってしまって
哀しいです
回答ありがとうございました

回答No.1

Tacosan

※を使うためには, 分母はどうなっていると都合がいいですか? そのためには, 分子と分母に何を掛ければいいですか?

お礼

回答ありがとうございます
単純なことだったのですね
おはずかしいです