極限とネイピア数

質問

極限を求める問題で、
lim[x→0]1/x{1-(1/e^3x)}なのですが、
どのように置き換えをするのがよいのかわかりません。

lim[x→0](1+h)^1/h=eを使うのだろうとは思うのですが、
うまく変形ができません。

ご教授頂けないでしょうか。

回答No.2

proto

ちょっと置き換えをするだけなので自分で考えて欲しいですが、
lim[x→0]{{exp(3x)-1}/x}=3を微分を使わずに示します。

t=exp(3x)-1と置くとx=(ln(1+t))/3で、x→0のときt→0
　　lim[x→0]{{exp(3x)-1}/x} = lim[t→0]{3t/ln(1+t)}
　　　　　　 = lim[t→0]{3/{(ln(1+t))/t}} = lim[t→0]{3/(ln((1+t)^(1/t)))}
ここでlim[t→0]{(1+t)^(1/t)}=eより
　　lim[x→0]{{exp(3x)-1}/x} = 3/ln(e) = 3/1 = 3

このことより
　　lim[x→0]{{1-(1/exp(3x))}/x} = lim[x→0]{{exp(3x)-1}/x * 1/exp(3x)} = 3 * 1/1 = 3

回答No.1

proto

{1-(1/exp(3x))}/xですかね？
分子を通分(分子分母にexp(3x)を掛けても同じ変形)
　　{{exp(3x)-1}/exp(3x)}/x = {exp(3x)-1}/x * 1/exp(3x)

ここで
　　{exp(3x)-1}/x = {exp(3x)-exp(3*0)}/(x-0)
とみるとx→0のときこれはexp(3x)のx=0における微分係数に等しい。
　　(exp(3x))' = 3*exp(3x)
だから
　　lim[x→0]{{exp(3x)-1}/x} = 3*exp(3*0) = 3

これを用いて
　　lim[x→0]{{exp(3x)-1}/x * 1/exp(3x)} = 3 * 1/1 = 3

補足

回答有難うございました。
申し訳ないのですが、微分の概念を使わない、指数・対数の知識のみの変形はないものでしょうか？まだ対数関数の微分を勉強していないもので・・・。