極限の問題

質問

lim(x→0) ((1+x)^(1/x)-e)/x

という極限の値を求める問題です。
lim(x→0) (1+x)^(1/x)=eの公式が使えそうですが、どう使えばいいかわかりません。

どなたわかる方がいらっしゃいましたら、ご教授お願いします！

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

ロピタルの定理を使わないやり方なら

lim(x→0) ((1+x)^(1/x)-e)/x
=lim(x→0) (e^(log(1+x)/x)-e)/x
=lim(x→0) e*(e^((log(1+x)/x)-1)-1)/x
=e*lim(x→0) (e^((log(1+x)/x)-1)-1)/x

f(x)=log(1+x)をマクローリン展開で近似すると
log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+...(収束範囲-1＜x≦1)
log(1+x)/x=1-x/2+x^2/3+...(収束範囲-1＜x≦1)
log(1+x)/x-1=-x/2+x^2/3+...(収束範囲-1＜x≦1)
なので

上式=e*lim(x→0) (e^(-x/2+x^2/3+...)-1)/x

e^x=1+x+(1/2)x^2+・・・(収束範囲-∞＜x＜∞)
より

上式=e*lim(x→0){1-x/2+x^2/3+...+(1/2)(-x/2+x^2/3+...)^2+...)-1)/x (収束範囲-1＜x≦1)
=e*lim(x→0){(1-x/2+x^2/3+x^2/8+...)-1)/x
=e*lim(x→0)(-x/2+x^2/3+x^2/8+...)/x
=e*lim(x→0){-(1/2)+(11/24)x+...}(収束範囲-1＜x≦1)
=e*(-1/2)
=-e/2
(eはネイピア数（自然対数の底）)

お礼

ご丁寧に教えていただき、本当にありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

回答No.1

info22_

lim(x→0) ((1+x)^(1/x)-e)/x

ロピタルの定理を使っていいなら、
lim(x→0) (1+x)^(1/x)=eなので
0/0型となるから

=lim(x→0) {(1+x)^(1/x)}'/1
=lim(x→0) {e^((1/x)log(1+x))}'/1
=lim(x→0) {e^((1/x)log(1+x))}{(1/x)log(1+x)}'
=lim(x→0) {(1+x)^(1/x)}{(1/x)log(1+x)}'

lim(x→0) (1+x)^(1/x)=eを用いて

=e*lim(x→0){log(1+x)/x}'
=e*lim(x→0){x/(1+x)-log(1+x)}/x^2
=e*lim(x→0){x-(1+x)log(1+x)}/{(1+x)x^2}
0/0型なのでロピタルの定理をつかって
=e*lim(x→0){1-log(1+x)-1}/(2x+3x^2)
=-e*lim(x→0)log(1+x)/(2x+3x^2)
0/0型なのでロピタルの定理をつかって
=-e*lim(x→0)1/{(1+x)(2+6x)}
=-e/2

お礼

早速のご解答ありがとうございます。
ロピタルの定理はできるだけ使わないようにと教わってきたのですが、
ロピタルの定理を使うタイミングがわかりません。
この問題はロピタルの定理を使わない方法ってありますか。