極限の問題

質問

極限の問題

たびたびすみません。解き方が分からない問題が他にも出てしまいました。
数IIIについてはまるっきり初心者です、ご迷惑掛けてすみません！！

公式を使ったりするのだと思いますが、どう変形すればよいのか困っています。
どれかひとつでも構いませんので、どなたか数学のできる方、お願いします！！

(1)lim[x→∞](xe^x)/(e^(2x)+1)

(2)lim[x→∞]{1-(log2/x)}^x

(3)lim[x→+0]|x|/√(a+x)-√(a-x)

(4)lim[x→-0]x/√(1-cosx)

(5)lim cos(1/x) 【[x→∞]と[x→+0]の場合】

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

(1)与式=lim[x→∞]x/(e^x+e^(-x))
　　x>0で0<x/(e^x+e^(-x))<x/e^x
lim[x→∞]x/e^x=0
　　よって、与式=0

(2)1/t=-log2/X　とおく
　与式=lim[x→∞](1+1/t)^(x/log2*log2)
　　　=lim[t→-∞]{(1+1/t)^t}^(-log2)
　　　=e^(log(1/2))　※e=lim[t→∞](1+1/t)^tより
　　　=1/2

(3)与式=lim[x→+0]|x|(√(a+x)+√(a-x))/(2x)
　　　　=lim[x→+0]x/2X・(√(a+x)+√(a-x))
　　　　=√a

(4)与式=lim[x→-0]x・√(1+cos(x))/|sin(x)|
　　　　=lim[x→-0]x/(-sin(x))・√(1+cos(x))
　　　　=-√2 ※lim[x→0]sin(x)/x=1より

(5)lim[x→∞]cos(1/x)=lim[t→+0]cos(t)=1
　　lim[x→+0]cos(1/x)=lim[t→+∞]cos(t)=発散（振動）
　　※いずれもt=1/xとおいた

お礼

ご回答ありがとうございます！！
大変助かりました。