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logの極限値
lim[h→0](1+h)＾1/h=eを利用して次の極限値を求めよ lim[h→0](1+h)＾x/h lim[x→∞](1+(1/x))＾-x これがテストに出るみたいですがこういうのってどうやればいいんですか？
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こんにちは。 １個目 （１＋ｈ）^(x/h) ＝ ｛（１＋ｈ）^(1/h) ｝^x よって、 lim[h→0](1+h)＾(x/h) ＝ lim[h→0] ｛（１＋ｈ）^(1/h) ｝^x ＝ ｅ^x ２個目 ｘ ＝ １／ｈ と置けば、 ｘ→∞ のとき ｈ→０ （１＋（１／ｘ））^(-x) ＝ （１＋ｈ）^(-1/h) ＝ ｛（１＋ｈ）^(1/h) ｝^(-1) よって、 lim[x→∞](1+(1/x))＾(-x) ＝ lim[h→0]｛（１＋ｈ）^(1/h) ｝^(-1) ＝ ｅ^(-1) ＝ １／ｅ 答案に書く内容は、以上です。 ご参考に。
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- rnakamra
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logじゃ無いだろう、という突っ込みはなしにして。 変数変換と指数法則を用いて変形します。 im[h→0](1+h)＾x/h これは、x/h=(1/h)*xであり、指数法則x^(ab)=(x^a)^bを用いると (1+h)＾x/h={(1+h)＾(1/h)}^x となります。 lim[x→∞](1+(1/x))＾-x lim[h→0](1+h)＾1/h=と比べると、hが1/xに置き換わったものに似ていることに気づくはずです。 1/x=hと置換すると、 (1+(1/x))＾(-x)=(1+h)^(-1/h) となります。-1/h=(1/h)*(-1)ですから、上の問題と同じ解法になります。 気をつけておいてほしいのは x→∞は1/x=hと置換するとh→+0(h→0ではない)に置き換わることでしょうか。
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