代数学の問題

質問

「Let p be a prime and let G be the additive group (Z_p×Z_p,+).
(1) How many subgroups of order p does G have?
(2) Let x,y∈G such that x≠y. Show that there exists exactly one subgroup H≦G of order p for which x+H=y+H holds.」

((1)の証)
Z_pの位数は素数なのでZ_pは自明な部分しか持たない。
つまり,{0modp},Z_p≦Z_p.
よって, {0modp}×{0modp},{0modp}×Z_p,Z_p×{0modp},Z_p×Z_pがG=(Z_p×Z_p,+)の部分群になる。よって4つとなったのですがこれでいいでしょうか?

((2)の証)
(1)より位数がpになる部分群は{0modp}×Z_p,Z_p×{0modp}の2つ。
よってH:={0modp}×Z_pの時,x:=(amodp,bmodp) (但し,0≦a,b≦p-1)とすると,bmodp+Z_p=Z_pより
x+H={amodp}×(bmodp+Z_p)={amodp}×Z_p=={0modp+amodp}×(Z_p+b'modp)=H+(amodp,b'modp)と書ける。
H:=Z_p×{0modp}の場合についても同様である。

となったのですがこれでいいでしょうか?

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

G=(Z_p×Z_p,+)
(1)Gの位数pの部分群は次の p+1 個

<(1,0)>,<(1modp,ymodp)>_{1≦y≦p-1},<(0,1)>

2≦x≦p-1,1≦y≦p-1,に対して
xとpは互いに素だから1=nx-pとなる自然数nがある
1<p/(p-1)≦p/x<n≦(1+p)/x≦(1+p)/2<p
nx=p+1　だから
n(xmodp,ymodp)=(nxmodp,nymodp)=(1modp,nymodp)
(xmodp,ymodp)は(1modp,nymodp)が生成する巡回群を生成し位数が等しいから

<(xmodp,ymodp)>=<(1modp,nymodp)>

(2)x≠y∈G,x+H=y+H,|H|=p,H⊂G,となるHは<(x-y)>ただ1つとなる

x-y∈Gとするとx-y∈<x-y>だからx+<x-y>=y+<x-y>,|<x-y>|=p
x+H=y+Hとすると x-y∈H だから<x-y>⊂H,|<x-y>|=p=|H|だから<x-y>=H

例えばZ_4=Z_2×Z_2で(0mod2,1mod2)を生成元とする巡回群<(0mod2,1mod2)>は

<0mod2,1mod2>={(0mod2,1mod2),2(0mod2,1mod2)=((2*0)mod2,2mod2)=(0mod2,0mod2)}で
これはZ_2×Z_2の単位元(0mod2,0mod2)を含んでいるので
Z_p×Z_pの部分群になる。

お礼

どうも有難うございます。お蔭様で漸く解決できました。m(_ _)m

回答No.2

waseda2003

>((1)の証)
０×０および Z_p×Z_p はどちらも
位数pの部分群(subgroup of order p)ではないので，問題外ですよね。
また，pが３以上の素数なら，(1，0)や(0，1)で生成される部分群以外に
(1，2)や(2，1)で生成される部分群もあります。

そもそも，Z_p×Z_pは単位元(0，0)以外はすべて位数pなのですから，
位数pの部分群を生成できます。
あとは同じ群を生成する重複度を考慮するだけです。
ひょっとしたら，先に(2)を考える方が構造がつかまえやすいかもしれません。

>((2)の証)
この解答は間違っているというより，何も述べていません。
ただ x=(a，b)（∈Z_p×Z_p）とおくと言っているだけです。

x≠y は x-y≠0 のことで， x+H=y+H は x-y∈H のことですから，
「Z_p×Z_p の単位元以外の任意の元は，位数pの部分群を
生成することを証明せよ」ということとほとんど同じです。
あとの細かい部分はよく考えてみてください。

お礼

ありがとうございます。
>>((1)の証)
> ０×０および Z_p×Z_p はどちらも
> 位数pの部分群(subgroup of order p)ではないので，問題外ですよね。

そうですね。それは分かります。

> また，pが３以上の素数なら，(1，0)や(0，1)で生成される部分群以外に
> (1，2)や(2，1)で生成される部分群もあります。

そうですね。巡回群も部分群になりえますね。
そうしますと,<(0,0)>,<(0,1)>,<(1,0)>,<(1,1)>(=Z_p×Z_p),…
と沢山あるのですね。

> そもそも，Z_p×Z_pは単位元(0，0)以外はすべて位数pなのですから，
> 位数pの部分群を生成できます。
> あとは同じ群を生成する重複度を考慮するだけです。

なるほど。

> ひょっとしたら，先に(2)を考える方が構造がつかまえやすいかもしれません。

Z_p×Z_pの単位元以外の任意の元(xmodp,ymodp)はp倍して初めてpで割れるので#<(xmodp,ymodp)>=pですよね。
∀(xmodp,ymodp),(x'modp,y'modp)∈{(xmodp,ymodp);0≦x,y≦p-1,もしx=yならx=y=1の時に限る,}=:Aに於いて
(xmodp,ymodp)≠(x'modp,y'modp)なら,
gcd(x,x')=1かgcd(y,y')=1なので,<(xmodp,ymodp)>≠<(x'modp,y'modp)>。
従って,Aの元が位数pの部分群になる得るのでよって,位数pの部分群の個数は#A.。
よって,p^2-(p-1)個。
これでいいのでしょうか?

>>((2)の証)
> この解答は間違っているというより，何も述べていません。
> ただ x=(a，b)（∈Z_p×Z_p）とおくと言っているだけです。
> x≠y は x-y≠0 のことで， x+H=y+H は x-y∈H のことですから，
> 「Z_p×Z_p の単位元以外の任意の元は，位数pの部分群を
> 生成することを証明せよ」ということとほとんど同じです。
> あとの細かい部分はよく考えてみてください。

これは偽ではないですかね。例えばZ_4=Z_2×Z_2で(0mod2,1mod2)を生成元とする巡回群<(0mod2,1mod2)>は
<0mod2,1mod2>={(0mod2,1mod2),(1mod2,0mod2)}でこれはZ_2×Z_2の単位元(0mod2,0mod2)を含んでいないのでZ_p×Z_pの部分群にはなり得ない。
勘違いしてますでしょうか?

回答No.1

jmh

> ((1)の証)
「…つまり～」で大事なのは「～」の方ではないの？「…」には「自明なの以外に部分群はない」とあり「～」には「自明な部分群は部分群である」とあります。「よって」の理由が分かりません。

> ((2)の証)
証明すべきことは何んですか？…問題が間違ってる？

お礼

ありがとうございます。

>> ((1)の証)
> 「…つまり～」で大事なのは「～」の方ではないの？「…」には「自明なの以外に部分群はない」
> とあり「～」には「自明な部分群は部分群である」とあります。「よって」の理由が分かりません。

えっ? {0modp}とZ_pはどちらもZ_pの自明な群ですよね?

>> ((2)の証)
> 証明すべきことは何んですか？…問題が間違ってる？

G∋∀x,yは相異なるに対して,x+H=y+Hを満たすGの部分群Hが一意的に存在する事を示せ。
という事だと思います。

さらには
「Z_p×Z_p の単位元以外の任意の元は，位数pの部分群を生成することを証明せよ」という意味かとも思います。