漸化式

質問

数列{C_n}を次のように定める。

C_1=2,C_n+1=-C_n+n^2+3

このときC_25を求めよ。

という問題なんですがさっぱり分かりません。どうやって考え始めればよいのでしょうか？
ちなみに答えは302になります。

回答No.3

a103net · ベストアンサー

C_25＝-C_24+24^2+3
＝-(-C_23+23^2+3)+24^2+3=C_23+(24^2-23^2)
よって
C_25＝C_23+(24^2-23^2)=C_21+(24^2-23^2)+(22^2-21^2)
＝…＝C_1+(24^2-23^2)+(22^2-21^2)+…+(2^2-1^2)
＝2+(47+43+…+3)
　　＝2+(47+3)*12/2
　　＝2+300
　　＝302

お礼

なるほど！具体値を入れて一般化をはかるんですね。思いつきもしませんでした。ありがとうございます！

回答No.4

rinri503

Ｃ２５を求めるだけですからｎｏ３の方の求め方が分かりやすくていいと思いますが、ｏｋしないようなので回答します
　　両辺を（－１）のｎ＋１乗で割ります

　　Ｃｎ＋１／（－１）＾ｎ＋１乗＝Ｃｎ／（－１）＾ｎ乗　＋（ｎ＾２＋３）／（－１）＾ｎ－１乗　と変形します
　　Ａｎ＝Ｃｎ／（－１）＾ｎ乗　とおくと
　　　Ａｎ＋１＝Ａｎ＋（ｎ＾２＋３）／（－１）＾ｎ＋１乗とできます

　　Ａ２＝Ａ１＋（１＾２）＋３／（－１）＾２

　　Ａ３＝．．．．．．．
　　Ａｎ＝Ａｎ－１＋（ｎ－１）＾２＋３／（－１）＾ｎ
　　ここまでをすべて合計すると
　　　Ａｎ＝Ａ１＋Σｋ＝１からｎ－１まで
　　　　（ｋ＾２＋３）／（－１）＾ｋ＋１乗

　　　Ａ１＝－２とだしてシグマ部分を計算します
　　　ここで難しいのは奇数項は正、偶数項は負になると　　　いうことです
　　Σ部分Ｓ＝奇数項＋偶数項に分けます
　　　　　＝（１＾２＋３．．．＋２３＾２＋３）－
　　　　　　　（偶数項語尾が２４＾２＋３）になります
　　　　　＝前ガ公差２の数列で１２項　後ろが公比２の　　　　　　数列で
　　　　　＝Σ（２ｋ－１）＾２＋Σ（２ｋ）＾２
　　　　　　　それぞれｋ＝１から１２項まで
　　　　　　計算すると　＝－４ｎ＋１になるはず
　　　　したがって　　もとにもどして
　　　　　３０２が求められます

お礼

割る方法もあるんですね！参考になりました！ありがとうございます！
あとokしなかったのではなく、受験で忙しくて昨日答えられませんでした...すみません！

回答No.2

adinat

もうひとつ一般的な解法があるので概略だけですが書いておきます。
C_{n+1}=αC_n+f(n)
というタイプの漸化式で、f(n)がk次の多項式の場合、第k階差までとってみると簡単な漸化式が現れます。からくりはn次多項式の階差がn-1次になることを利用しています。この問題だとたとえば、
C_{n+2}=-C_{n+1}+(n+1)^2+3
C_{n+1}=-C_n+n^2+3
という式の片々を引き算して（上の式はもとの漸化式でn→n+1としたものです）
C_{n+2}-C_{n+1]=-(C_{n+1}-C_n)+2n+1
となります。ここでD_n=C_{n+1}-C_nとおくと、
D_{n+1}=-D_n+2n+1
という新しい漸化式を得ます。再び、
D_{n+2}=-D_{n+1}+2(n+1)+1
D_{n+1}=-D_n+2n+1
の片々を引き算して
D_{n+2}-D_{n+1]=-(D_{n+1}-D_n)+2
となるので、E_n=D_{n+1}-D_nとおけば
E_{n+1}=-E_n+2
です。これは簡単な漸化式で、両辺から1を引けば
E_{n+1}-1=-(E_n-1)
となるからE_n=(-1)^{n-1}(E_1-1)と解くことができます。

さてC_1=2だったから、C_2=-2+1+3=2、C_3=-2+4+3=5ですので、
D_1=C_2-C_1=0、D_2=C_3-C_2=3です。
よってE_1=D_2-D_1=3となるので、E_n=(-1)^{n-1}×2です。
D_n=E_{n-1}+E_{n-2}+…+E_1+D_1
なのでこれは等比数列の和の公式から計算できます。同じようにして
C_n=D_{n-1}+D_{n-2}+…D_1+C_1
からC_nの一般項が計算できます。

この階差数列を取る方法はなかなか汎用的なんですが、何度も階差をとるとあとで足しなおさないといけないので計算が面倒になります。実用的には二回ぐらいが限界なのかなあとも思いますが、解法が思い浮かばないときには何も考えずに出来る方法だし、しっておいて損はないかとも思います。

お礼

階差は２回までしかとったことなかったのですが、一般にそこまで発展させられるんですね！知りませんでした。勉強になりました！ありがとうございます！

回答No.1

eatern27

私が今、思いついた方針は、

C_2=-C_11+1^2+3=2
C_3=-C_2+2^2+3=5
・・・
C_25=-C_24+24^2+3=302
と計算する。

C_[n+1]+α(n+1)^2+β(n+1)+γ＝-{C_n+αn^2+βn+γ}
となるようなα,β,γを求め、(F(n+1)=rF(n)の形にするのが目標)
C_nの一般項を求める。

C_25
={(C_25+C_24)+(C_23+C_22)+・・・+(C_3+C_2)}-{(C_24+C_23)+(C_22+C_21)+・・・+(C_2+C_1)}+C_1
を計算する。

といったところでしょうか。
もっと簡単な解き方もあるかもしれませんが。

お礼

一番上のやってみましたがえらく時間がかかってしまいました...漸化式は計算に工夫がいろいろと必要なんですね。ありがとうございます！