漸化式

質問

数列{a_n}の一般項を求めよ。

(1)a_1=-2, a_n+1=5a_n+12

(2)a_1=5,a_n+1=-4a_n+10

(3)a_1=1,a_n+1=(1/2)a_n+2

この解法と答えを教えてください。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

(1)
t = 5t + 12 より、t = －3
よって、漸化式a_n+1 = 5a_n + 12 は、a_n+1 + 3 = 5(a_n + 3) と変形できる。
このとき、数列{a_n + 3}は、初項1、公比5の等比数列
a_n + 3 = 1・5^(n－1) = 5^(n－1)
∴a_n = 5^(n－1) － 3

(2)
t = －4t + 10 より、t = 2
よって、漸化式a_n+1 = －4a_n + 10 は、a_n+1 － 2 = －4(a_n － 2) と変形できる。
このとき、数列{a_n － 2}は、初項3、公比－4の等比数列
a_n － 2 = 3・(－4)^(n－1)
∴a_n = 3・(－4)^(n－1) + 2

(3)
t = t/2 + 2 より、t = 4
よって、漸化式a_n+1 = a_n/2 + 2 は、a_n+1 － 4 = (a_n － 4)/2 と変形できる。
このとき、数列{a_n － 4}は、初項－3、公比1/2の等比数列
a_n － 4 = (－3)・(1/2)^(n－1)
∴a_n = (－3)・(1/2)^(n－1) + 4

お礼

丁寧にありがとうございます。

回答No.2

alice_44

どの漸化式も、a_(n+1) = B a_n + C という形をしている。
B ≠ 1 であれば、x = B x + C という一次方程式には解があって、
x = C/(1-B) となる。

ふたつの式の辺々を引き算すると、a_(n+1) - x = B { a_n - x }
となって、式から C が消え、数列 a_n - x が等比数列だと判る。
よって、a_n - x = (a_1 - x) B^(n-1)。

x を代入消去すれば、a_n = C/(1-B) + {a_1 - C/(1-B)} B^(n-1)。
後は、各漸化式の B, C, a_1 を代入する。