数列

質問

a,bを互いに素な自然数として
数列{a[n]},{b[n]}を
a[1]=a
b[1]=b
a[n+1]=a*a[n]-b*b[n]
b[n+1]=b*a[n]+a*b[n]
と定めると、素数pにたいして
b[p]≠0
となることの証明を教えてくだ
さい。よろしくお願いします。

回答No.6

tmppassenger · ベストアンサー

> …でいいのでしょうか？

良さそうです。同じ事を言っているはずですが、私なりの記述を書いておくと：
○ bがpの倍数でない場合は、(-1)^((p-1)/2) b^pはpの倍数でなく、その他の（虚数が出て来る）項は全て C[p, k] (1≦k≦p-2)が掛けられているのでpの倍数であり、従って虚部は0にならない。
○ そうでなくて bがpの倍数で、bのpの巾をmとすれば、C[p, p-1] *a^(p-1)b の項のpの巾はm+1、その他の項はすべてpの巾が3m以上で、従ってmod(p^(m+1))を考えるとやはり0にならないことが分かる。

お礼

そのように考えれば"その他の項はすべてpの巾が3m以上"になることがわかりやすくスッキリと記述できるわけですね。
ありがとうございました。

回答No.7

tmppassenger

ついでに、これは使わなくていいですが、一つ更に書いておきます。

今の場合、「a, bが正整数で互いに素の時、(a+bJ)^n が、nが素数の時実数にならない事を示す」という事ですが、今 tan(t) = b/a, 0<t<π/2を満たす実数tを取ると、

○ tは鋭角
○ tan(t) = b/aは有理数
○ 仮に何らかの（素数とは限らない）正整数nに対し、(a+bJ)^nが実数になるとすると、(a+bJ)^n = {(a^2 + b^2)^(n/2)} * (cos(nt) + J*sin(nt))が実数になるという事であるから、ある正整数mが存在して nt = mπ、つまり t = (m/n)π、つまり tはπの有理数倍

という性質を満たしますが、これ：
https://www.y-sapix.com/articles/66491/
を見ると分る通り、実はこの条件を満たすtはπ/4のみ、つまり（今の場合aとbが互いに素、という条件を加味すると）a=b=1の時だけという事が分ります。

つまり、この問題の場合、実際にはa=b=1でない限り、素数といわず正の数nに対してb[n]は0になりません。a=b=1の場合は実際に確かめてみれば分りますが、nが4の倍数の時のみb[n]が0になります。

お礼

リンク先の証明を細部まで理解するのは難しそうですが、論理の大まかな流れはわかりました。
ありがとうございました。

回答No.5

tmppassenger

因みに、ご回答の内容だと、a=1の時、mod aを考えると問題になります。

お礼

たしかに！！

回答No.4

tmppassenger

なるほど、了解です。でも、この問題の場合はa[n], b[n]を同時に扱わないと見通しが悪くなりますね。
で、この問題の場合、ちょっと整理したやり方を示すと...

以下 J を虚数単位とすると（見易くするために大文字のJを敢えて使う）、a[n+1] + b[n+1] * J = (a+bJ) (a[n] + b[n] * J )となるので、a[n] + b[n]*J = (a+bJ)^n となる事が分かる。

従って、問題は、「素数pに対し、(a+bJ)^p の虚部が0でないことを示せ」というのと同じになる。

で、(a+bJ)^p の計算は二項定理を使うと計算出来るので、虚部も具体的に出せる。
* bがpの倍数でない場合と、
* bを素因数分解した時の、pのべきがm(>0)の場合（この場合aはpの倍数ではない）
で場合分けすると見通しが良い。二項係数のC(p, k) (1≦ k≦ p-1)は、pで何回割り切れるか？にも注意。

お礼

なるほど…？

b[2]≠0,b[3]≠0はすぐにわかる。p≧5のとき虚部は
Σ[k=1→(p+1)/2](-1)^(k-1) C(p,2k-1) a^(p-2k+1) b^(2k-1)
=pa^(p-1)b-C(p,3)a^(p-3)b^3+…+(-1)^((p-1)/2)b^p
これが0であるなら(-1)^((p+1)/2)b^pがpの倍数なのでbがpの倍数。
bのpのべきをmとすると
C(p,2k-1)a^(p-2k+1)b^(2k-1)(2≦k≦(p-1)/2)はp^(m(2k-1)+1)の倍数。
(-1)^((p-1)/2)b^pはp^(mp)の倍数。
したがってpa^(p-1)bはp^(3m+1)の倍数でならなければならないが
これはaがa^(p-1)がp^(2m)の倍数であることになり、
aとbが互いに素であることに矛盾。

…でいいのでしょうか？

回答No.3

tmppassenger

取り敢えず途中まででいいので、どこまで考えたか一度書いてもらえないでしょうか。

お礼

逆でした。
b[2n-1]≡(-b^2)b[2n-3]≡(-b^2)^2b[2n-5]≡…≡(-b^2)^(n-2)b[3]≡(-b^2)^(n-1)b[1]=(-1)^(n-1)b^(2n-1)

回答No.2

tmppassenger

いずれにせよ、一度どう考えたか、書いてもらえますか？

お礼

自分で考えていると、
b[n+2]=b*a[n+1]+a*b[n+1]
=b(a*a[n]-b*b[n])+a(b*a[n]+a*b[n])
=2ab*a[n]+(a^2-b^2)b[n]
≡-b^2*b[n] (mod a)
したがってmod aにおいて
b=b[1]≡(-b^2)^1b[3]≡(-b^2)^2b[5]
≡(-b^2)^3b[7]≡…≡(-b^2)^(n-1)b[2n-1]≡…
となるのでb[2n-1]はaの倍数にならない。
したがってb[2n-1]は0にはならない、となりましたが…。

回答No.1

tmppassenger

先ずご自身でどこまで考えているかを書いてもらえますか？
後、これは何かに載っている問題でしょうか？

お礼

もしかして素数pでなく2または奇数としても成り立ちますか？