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ある数列が等差数列であることを示す

各項が正の数である数列{a_n}があり、任意の自然数nについて、a_2n-1、a_2n、a_2n+1はこの順に等差数列をなし、a_2n、a_2n+1、a_2n+2はこの順に等比数列をなす。 (1)a_2nをa_2n-1、a_2n+1を用いて表せ。また、a_2n+1をa_2n、a_2n+2を用いて表せ。 (2)数列{b_n}を、b_n=√(a_2n)で定めるとき、{b_n}は等差数列であることを示せ (3)a_1=2、a_2=4のときΣ(k=1~n)a_2k-1を求めよ (1)はa_2n=1/2(a_2n-1+a_2n+1)、a_2n+1=√(a_2n*a_2n+2) と求まったのですが、 (2)の{b_n}が等差数列であることを示すことができなくて困っています。(1)のa_2nを代入して隣同士の差を作ってもうまくできません。 それと(3)なのですが、a_2k-1が階差数列になると思うのですが、うまく計算できません。  答えが1/3n(n+1)(n+2)となることはわかっているのですが合わなくて・・・。 回答いただければ助かります。よろしくお願いします

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(2) a_2n+1=√(a_2n*a_2n+2)、b_n=√(a_2n) より a_2n+1=b_n*b_n+1 よって a_2n-1=b_n-1*b_n a_2n=1/2(a_2n-1+a_2n+1) より (b_n)^2=1/2 (b_n-1*b_n + b_n*b_n+1)     =b_n/2(b_n-1 + b_n+1) b_n=√(a_2n)、a_2n≠0 より b_n≠0 b_n=1/2 (b_n-1 + b_n+1) よって整理して b_n+1 - b_n=b_n - b_n-1 よって b_n は等差数列といえる。 (3) a_1=2、a_2=4、b_n=√(a_2n) より b_1=√(a_2)=√4=2 a_2n-1、a_2n、a_2n+1はこの順に等差数列を成すので n=1 のとき a_1、a_2、a_3 は等差数列を成す。 よって a_1=2、a_2=4 より a_3=6=b_1*b_2  よって b_2=3 b_n は等差数列なので b_n=2+(n-1)=n+1 よって a_2n-1=b_n-1*b_n=n(n+1) Σ(k=1~n)a_2k-1=Σ(k=1~n)k(k+1)=Σ(k=1~n)k^2+k =1/6 n(n+1)(2n+1) + 1/2 n(n+1) =1/6 n(n+1)(2n+1+3) =1/3 n(n+1)(n+2) よって答えは 1/3 n(n+1)(n+2)

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  • 回答No.2
noname#26816
noname#26816

(2) (1)の2つ目の式より、a_2n+1=b_n*b_n+1             a_2n-1=b_n-1*b_n   また、a_2n=b_n^2 これらを1つ目の式に代入すれば示せます。 (3) a_2k-1=b_k-1*b_k・・・(1) ですから、これをk=1~nにわたって足し合わせることになります。ということはb_kの具体的な形がわからなければいけませんね。ここで、(2)を使います。b_kが等差数列であることがわかっているので、あとは初項と公差がわかればいいことになります。a_1=2、a_2=4、a_3=6、a_4=9・・・って順番に求めていけばわかりますから、これからb_kの初項と公差は求められ、b_kを具体的な式で書くことができるはずです。そしてこれを(1)式に代入すれば出てくるのではないでしょうか?

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  • 回答No.1

(2) b_n+1-b_n =√a_2n+2-√a_2n =a_2n+1/√a_2n-√a_2n =(a_2n+1-a_2n)/√a_2n b_n-b_n-1 =√a_2n-√a_2n-2 =√a_2n-a_2n-1/√a_2n =(a_2n-a_2n-1)/√a_2n =(a_2n+1-a_2n)/√a_2n=b_n+1-b_n

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