ある数列が等差数列であることを示す

質問

各項が正の数である数列｛a_n｝があり、任意の自然数ｎについて、a_2n-1、a_2n、a_2n+1はこの順に等差数列をなし、a_2n、a_2n+1、a_2n+2はこの順に等比数列をなす。
(1)a_2nをa_2n-1、a_2n+1を用いて表せ。また、a_2n+1をa_2n、a_2n+2を用いて表せ。
(2)数列｛b_n｝を、b_n＝√(a_2n)で定めるとき、｛b_n｝は等差数列であることを示せ
(3)a_1=２、a_2=4のときΣ（k=1～n）a_2k-1を求めよ

(1)はa_2n＝1/2（a_2n-1＋a_2n+1）、a_2n+1＝√（a_2n＊a_2n+2）
と求まったのですが、

(2)の｛b_n｝が等差数列であることを示すことができなくて困っています。(1)のa_2nを代入して隣同士の差を作ってもうまくできません。

それと(3)なのですが、a_2k-1が階差数列になると思うのですが、うまく計算できません。　　答えが1/3n(n+1)(n+2)となることはわかっているのですが合わなくて・・・。

回答いただければ助かります。よろしくお願いします

回答No.3

chicken_man · ベストアンサー

(2)
a_2n+1＝√（a_2n＊a_2n+2）、b_n＝√(a_2n)　より

a_2n+1＝b_n*b_n+1　よって
a_2n-1＝b_n-1*b_n
a_2n＝1/2（a_2n-1＋a_2n+1）　より

(b_n)^2＝1/2 (b_n-1*b_n + b_n*b_n+1)
　　　 ＝b_n/2(b_n-1 + b_n+1)　b_n＝√(a_2n)、a_2n≠0　より　b_n≠0

b_n＝1/2 (b_n-1 + b_n+1)　よって整理して
b_n+1 - b_n＝b_n - b_n-1　よって b_n は等差数列といえる。

(3)
a_1＝2、a_2＝4、b_n＝√(a_2n)　より
b_1＝√(a_2)＝√4＝2

a_2n-1、a_2n、a_2n+1はこの順に等差数列を成すので　n＝1　のとき
a_1、a_2、a_3　は等差数列を成す。
よって　a_1＝2、a_2＝4　より　a_3＝6＝b_1*b_2　
よって　b_2＝3
b_n　は等差数列なので　b_n＝2+(n-1)＝n+1

よって　a_2n-1＝b_n-1*b_n＝n(n+1)
Σ（k=1～n）a_2k-1＝Σ（k=1～n）k(k+1)＝Σ（k=1～n）k^2+k
＝1/6 n(n+1)(2n+1) + 1/2 n(n+1)
＝1/6 n(n+1)(2n+1+3)
＝1/3 n(n+1)(n+2)

よって答えは　1/3 n(n+1)(n+2)

お礼

詳しく書いていただきありがとうございました。
おかげさまでよくわかりました

回答No.2

noname#26816

(2) (1)の２つ目の式より、a_2n+1=b_n*b_n+1
　　　　　　　　　　　　a_2n-1=b_n-1*b_n
　　また、a_2n=b_n^2
これらを１つ目の式に代入すれば示せます。

(3) a_2k-1=b_k-1*b_k・・・(1)
ですから、これをk=1～nにわたって足し合わせることになります。ということはb_kの具体的な形がわからなければいけませんね。ここで、(2)を使います。b_kが等差数列であることがわかっているので、あとは初項と公差がわかればいいことになります。a_1=２、a_2=4、a_3=6、a_4=9・・・って順番に求めていけばわかりますから、これからb_kの初項と公差は求められ、b_kを具体的な式で書くことができるはずです。そしてこれを(1)式に代入すれば出てくるのではないでしょうか？

回答No.1

bad-boys

(2)
b_n+1-b_n
=√a_2n+2-√a_2n
=a_2n+1/√a_2n-√a_2n
=(a_2n+1-a_2n)/√a_2n
b_n-b_n-1
=√a_2n-√a_2n-2
=√a_2n-a_2n-1/√a_2n
=(a_2n-a_2n-1)/√a_2n
=(a_2n+1-a_2n)/√a_2n=b_n+1-b_n