数学 円周角

質問

問題 半径が6cmの円Oの周上に、4点A,B,C,Dがあり、DAとCBの交点をPとする。
弧ABの長さを求めなさい。 この問題の解き方を教えてください

回答No.2

KEIS050162

CDの長さは簡単な計算で求められて、かつ、△PABと△PCDが相似になりそうな雰囲気なので、この辺りから攻めてみました。

補助線　CD、ABと、BDを引く。
先ず、△PABと△PCDが相似であることを証明する。

四角形ABCDは円に内接するので、
∠BCD+∠BAD=180　（円周角定理から証明出来ますが、説明は割愛しています。）
∠PAB=180-∠BAD=180-(180-∠BCD)=∠BCD
∴△PAB∽△PCD　（二角相当）

次に△PBDが二等辺三角形であることを証明する。
円周角定理より、
∠DBC=60

∠PBD=180-∠DBC=120
∠BDP=30
従って、三角PBDは二等辺三角形

PBの長さを k とすると、
DP=2 x √3/2k = √3k
DP:PB=√3:1

相対する辺も　CD:AB＝√3:1　となる。

一方、円の半径は6cmなので、
CD = 2 x √3/2 x 6 = 6√3

AB=6√3 / √3 = 6 cm

（頂角が120°の二等辺三角形の辺の比については説明を割愛していますが、分かりますよね？正三角形を二つに切って底辺同士をつなげた形です。）

回答No.1

yyssaa

＞∠CBD=(1/2)∠COD=60°
∠ADB=∠CBD-∠APB=60°-30°=30°
弧ABの中心角=2*∠ADB=60°
よって弧ABの長さ=2π*6*60/360=2π(cm)・・・答