三角関数の説明をお願いします。

質問

t=sinθ＋cosθとする。θが－π/２≦θ≦π/２の範囲を取るとき、
tの最大値は(　１　)、最小値は(　２　)である。

(　１　)、(　２　)の答えは√２、－１になります。

途中式でt=√２sin(θ＋π/４)
という式が出てくるのですが、これはどうやって出しているのでしょうか？

理解力には自信がありませんのでなるべく詳しいご回答のほど、よろしくお願いします。

回答No.2

whirlwhirl · ベストアンサー

三角関数の合成公式です。
t = sinθ+cosθ = 1*sinθ+1*cosθ
とみて、合成公式を適用すると以下の形になります。
t = √2*sin(θ+φ)
φの求め方は以下が参考になるかと。図が無いと厳しいです。
逆に言えば図があれば一発なので、敢えて説明しません。以下urlを参考にして下さい。
http://www.sist.ac.jp/~kanakubo/research/hosoku/sankaku_gosei.html
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/gouseikousiki.html#1

次に範囲について。下画像で三角関数の振る舞いを見てください。
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif
直感的に単位円(半径１)の真上(π/２)で最大値１、真下(-π/２)で最小値－１をとります。
が、今sin関数がうけとる値(=θ+φ)の範囲は
－π/２+ φ ≦ θ + φ ≦ π/２+ φ
φ = π/４ とすれば
－3π/４ ≦ θ + π/４ ≦ 3π/4
なので、単位円を－3π/４からテッペン通って3π/4まで動きます。
さらに、今sin関数は√2倍されているので、
sin関数の動く単位円の半径も√2倍されたことになります。

なので最大値√2 at π/２、最小値 -1 at －3π/4

お礼

たいへんご詳しいご回答ありがとうございました。
図を書いてもう一度問題をやってみたいと思います。

回答No.3

whirlwhirl

訂正です。
訂正前: －3π/４ ≦ θ + π/４ ≦ 3π/4
訂正後: －π/４ ≦ θ + π/４ ≦ 3π/4

なので最大値√2 at π/２、最小値 -1 at －π/4

お礼

ご回答の訂正ありがとうございます。

回答No.1

spring135

t=√２sin(θ＋π/４)=√２[sin(θ)cos(π/４)+cos(θ)sin(π/４)]

=√２[sin(θ)(1/√2)+cos(θ)(1/√2)]=sin(θ)+cos(θ)

は解りますか。

三角関数に関する加法定理

sin(α+β）＝sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

を逆に使っています。

教科書のこのあたりをもう一度復習してください。

お礼

加法定理を使っていたのですね。
もう一度復習したいと思います。
ご回答ありがとうございました。