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三角関数の問題について
数学の問題です。解ける方よろしくお願いします f(θ)=sin3θ-cos3θ+3sin2θ-9(sinθ+cosθ) ただし0<=θ<2π (1)t=sinθ+cosθとおくとき,f(θ)をtで表しなさい (2)f(θ)の最大値と最小値、およびそのときのθの値を求めなさい よろしくお願いします・・・！
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- mister_moonlight
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＃1の回答のようにモタモタした解をみると、イライラするので。。。。。ｗ 書き込むとしよう。 t＝sinθ+cosθ (｜t｜≦√2)とすると 両辺を2乗すると1＋2*sinθ*cosθ＝1＋sin2θ＝t＾2 又、3倍角の公式から sin3θ＝3sinθ-4sin＾3θ、cos3θ＝4cos＾3θ-3cosθを使うと、f(θ)=sin3θ-cos3θ+3sin2θ-9(sinθ+cosθ)＝-6(sinθ+cosθ)＋3sin2θ-4(sinθ+cosθ)*(1-sinθ*cosθ)＝2t＾3＋3t＾2-12t-3となる。 g(t)＝2t＾3＋3t＾2-12t-3として、微分して、｜t｜≦√2の範囲で増減表を書くと最大値・最小値は自動的に求められる。 続きは、自分でやって。
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- Mr_Holland
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(1) 準備として、次の式をtで表します。 t=sinθ+cosθ から sin(2θ) =2sinθcosθ =(sinθ+cosθ)^2-{(sinθ^2+(cosθ)^2} =t^2-1 sinθ-cosθ =±√{(sinθ+cosθ)^2-4sinθcosθ} =±√{t^2-2sin(2θ)} =±√{t^2-2(t^2-1)} =±√(2-t^2) cos(2θ) =(cosθ)^2-(sinθ)^2 （∵ cosの2倍角の公式） =(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ) =干t√(2-t^2) （複号同順） sin(3θ)-cos(3θ) =sinθcos(2θ)+cosθsin(2θ)-{cosθcos(2θ)-sinθsin(2θ)} （∵ sin(θ+2θ),cos(θ+2θ)の加法定理） =cos(2θ)(sinθ-cosθ)+sin(2θ)(cosθ+sinθ) =干t√(2-t^2)×{±√(2-t^2)}+(t^2-1)t （複号同順） =-t(2-t^2)+t(t^2-1) =t(2t^2-3) =2t^3-3t あとは、これらをf(θ)の式に代入していきます。 f(θ)=(2t^3-3t)+3(t^2-1)-9t =2t^3+3t^2-12t-3 (2) t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4) なので、0≦θ<2π の範囲で -√2≦t≦√2 この範囲でのf(θ)の最大・最小を求める。 f(θ)=2t^3+3t^2-12t-3 ∴df(θ)/dt=6(t+2)(t-1) ∴ f(θ)のt^3の係数は正なので f(θ)は t=-2 で極大値、 t=1 で極小値をとる。 従って、f(θ)は t=-1 のとき 最小値 f(θ)=-10 をとる。 このときのθは θ=π、3π/2 。 t=±√2 のとき f(θ)=3干8√2 （複号同順） なので t=-√2 のときのf(θ)の方がt=√2のときのf(θ)より大きい。 故に、 f(θ)は t=-√2 のとき 最大値 f(θ)=3+8√2 をとる。 このときのθは θ=5π/4 。 以上をまとめて、f(θ)は θ=5π/4（t=-√2） のとき 最大値 3+8√2 θ=π、3π/2（t=-1)のとき 最小値 -10 をとると言える。
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