三角関数の問題について

質問

数学の問題です。解ける方よろしくお願いします

f(θ)=sin3θ-cos3θ+3sin2θ-9(sinθ+cosθ)
ただし0<=θ<2π

(1)t=sinθ+cosθとおくとき,f(θ)をtで表しなさい
(2)f(θ)の最大値と最小値、およびそのときのθの値を求めなさい

よろしくお願いします・・・！

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＃1の回答のようにモタモタした解をみると、イライラするので。。。。。ｗ　書き込むとしよう。

t＝sinθ+cosθ　(｜t｜≦√2)とすると　両辺を2乗すると1＋2*sinθ*cosθ＝1＋sin2θ＝t＾2
又、3倍角の公式から　sin3θ＝3sinθ-4sin＾3θ、cos3θ＝4cos＾3θ-3cosθを使うと、f(θ)=sin3θ-cos3θ+3sin2θ-9(sinθ+cosθ)＝-6(sinθ+cosθ)＋3sin2θ-4(sinθ+cosθ)*(1-sinθ*cosθ)＝2t＾3＋3t＾2-12t-3となる。
g(t)＝2t＾3＋3t＾2-12t-3として、微分して、｜t｜≦√2の範囲で増減表を書くと最大値・最小値は自動的に求められる。

続きは、自分でやって。

回答No.1

Mr_Holland

(1)　準備として、次の式をtで表します。
　t=sinθ+cosθ　から

　sin(2θ)
=2sinθcosθ
=(sinθ+cosθ)^2-{(sinθ^2+(cosθ)^2}
=t^2-1

　sinθ-cosθ
=±√{(sinθ+cosθ)^2-4sinθcosθ}
=±√{t^2-2sin(2θ)}
=±√{t^2-2(t^2-1)}
=±√(2-t^2)

　cos(2θ)
=(cosθ)^2-(sinθ)^2　　　　（∵　cosの2倍角の公式）
=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)
=干t√(2-t^2)　　　　　（複号同順）

　sin(3θ)-cos(3θ)
=sinθcos(2θ)+cosθsin(2θ)-{cosθcos(2θ)-sinθsin(2θ)}　　　　（∵　sin(θ+2θ),cos(θ+2θ)の加法定理）
=cos(2θ)(sinθ-cosθ)+sin(2θ)(cosθ+sinθ)
=干t√(2-t^2)×{±√(2-t^2)}+(t^2-1)t　　　　　（複号同順）
=-t(2-t^2)+t(t^2-1)
=t(2t^2-3)
=2t^3-3t

　あとは、これらをf(θ)の式に代入していきます。

　f(θ)=(2t^3-3t)+3(t^2-1)-9t =2t^3+3t^2-12t-3

(2)　t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)　なので、0≦θ<2π　の範囲で
　　　　-√2≦t≦√2

　　この範囲でのf(θ)の最大・最小を求める。

　　f(θ)=2t^3+3t^2-12t-3
　∴df(θ)/dt=6(t+2)(t-1)

　　∴　f(θ)のt^3の係数は正なので　f(θ)は　t=-2 で極大値、 t=1 で極小値をとる。

　　従って、f(θ)は　t=-1 のとき　最小値　f(θ)=-10　をとる。　このときのθは　θ=π、3π/2　。

　　t=±√2 のとき　f(θ)=3干8√2 （複号同順）　なので　t=-√2 のときのf(θ)の方がt=√2のときのf(θ)より大きい。
　　故に、　f(θ)は　t=-√2 のとき　最大値　f(θ)=3+8√2 をとる。　このときのθは　θ=5π/4　。

　以上をまとめて、f(θ)は
　　θ=5π/4（t=-√2）　のとき　最大値　3+8√2
　　θ=π、3π/2（t=-1)のとき　最小値　-10
をとると言える。