機械力学の問題です

質問

図に示すように、長さＬの質量のない棒が吊り下げられていて、棒の他端Ｐには
質量ｍ直径√2の一様な薄い円板が取り付けられている。
またＰにはφ-θ=0を平衡点とする回転ばね定数K=mgLk（ただしk≧0）
のばねが取り付けられていて、棒と円板との間に大きさK(φ-θ)の復元トルクが働くものとする。

このときθ=0、φ=0の状態からの微小運動について

系全体の運動エネルギーＴ、ポテンシャルＵを求め、微小運動の運動方程式を求める。

という問題なのですが、
θ=0、φ=0の時のＱの位置を原点にとり、右向きと上向きを正としてｘ軸ｙ軸をとって
微小運動したときのＱの位置をθとφで表して、

x=Lsinθ+(L/2)sinφ
y=L(1-cosθ)+(L/2)(1-cosφ)

として

T=(1/2)m(x'^2+y'^2)としました。

またポテンシャルについては

U=mgy+K(φ-θ)^2　　

として、ラグランジアンを求めて運動方程式を求めたのですが、
cosθ=1-(1/2)θ^2として（φの方も同様に）、微小項の3次以上は無視しました。

その時運動方程式は

(1/2)mL^2(2θ''+φ'')+mgLθ-2Ｋ(φ-θ)=0

(1/2)mL^2(θ''+(1/2)φ'')+(1/2)mgLφ+2K(φ-θ)=0

となったのですが、ＫはK=mgLkだったので、戻して固有角振動を求めたのですが、
途中でｋが割り切れてしまい、固有角振動数はＬとｇだけになってしまいます。

その次の設問で固有角振動数のkを大きくしたときの極限を求める問題がありまして、
kが消えてしまったのは間違いだと気づきました。

どこが間違っているのでしょうか。計算ミスは確認したのでないと思いますが、
運動エネルギーとポテンシャルのところがあまり自信がありません。

復元トルクの大きさK(φ-θ)のポテンシャルはK(φ-θ)^2でいいのかとか
運動エネルギーは座標の微分でよかったのかとか不安です。

どこが間違っているのか指摘してもらえるとうれしいです。

分かる方宜しくお願いします。

回答No.3

NemurinekoNya · ベストアンサー

NO1の運動エネルギーは、間違っていますね。
　T = (1/2)m(x'^2+y'^2) + (1/2)I(φ'-θ')^2　　　　　（１）
ではなく、
　T = (1/2)m(x'^2+y'^2) + (1/2)I(φ')^2　　　　　　　（２）
じゃないとおかしいですね。
θ=φの場合を考えると、（１）は明らかにおかしいです。

わたしの勘違い。
Iは重心周りの慣性モーメントです。

補足

何度も回答ありがとうございます。

しかしいくら計算しても問題の解答形式に合いません。
NO3さんのおっしゃる通りの計算をすると、角振動数（ω1>ω2）が
kを残したまま計算できます。しかし、次の設問でｋを大きくしたときの角振動数(ω2）の極限をLとｇを用いて表せという問題なのですがω2の極限は0となってしまい問題の解答形式に合いません。

ちなみにω2は
(√(g/L))√(2(1+5k)-√(2(50k^2+14k+1)))
でkを無限大に飛ばすときは、√kでくくって求めました。
今これを入力してて気づいたのですが、極限0じゃないかもしれないですね。そうすると極限がどうなるんでしょう。。。

回答No.2

NemurinekoNya

お礼、ありがとうございます。

この質問に関係する質問が寄せられているようですから、
http://okwave.jp/qa/q8700813.html
の（２）を御覧になってみては如何でしょうか。

急がばまわれ、という言葉もありますので、
この質問に回答を寄せるのもいいかもしれませんね。

運動エネルギーの観点から、回答を寄せてみては如何でしょうか。
結構、勉強になると思います。

回答No.1

NemurinekoNya

こんにちは。

☆T=(1/2)m(x'^2+y'^2)としました。
◇このTの式が間違い。
　運動エネルギー = 並進運動の運動エネルギー + 回転運動の運動エネルギー
だから、
　T = (1/2)m(x'^2+y'^2) + (1/2)I(φ'-θ')^2
とかなるんじゃないの。

補足

回答ありがとうございます。
回転運動のエネルギーを忘れてました。。。

ところで、慣性モーメントＩは回転軸に関するものですから、
平行軸の定理より
重心まわりの慣性モーメントが(1/5)mL^2なので
I=(1/5)mL^2+(1/4)mL^2=(9/20)mL^2
として求めるのですか？その後の計算が大変なことになるので
おそらく間違っていると思うのですが。